试题

题目：
青果学院如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC上的点．求证：BD2+CD2=2AD2．
答案
证明：作AE⊥BC于E，如上图所示：
由题意得：ED=BD-BE=CE-CD，
∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴BE=CE=
1
2
BC，
由勾股定理可得：
AB2+AC2=BC2，
AE2=AB2-BE2=AC2-CE2，
AD2=AE2+ED2，
∴2AD2=2AE2+2ED2=AB2-BE2+（BD-BE）2+AC2-CE2+（CE-CD）2
=AB2+AC2+BD2+CD2-2BD×BE-2CD×CE
=AB2+AC2+BD2+CD2-2×
1
2
BC×BC
=BD2+CD2，
即：BD2+CD2=2AD2．
证明：作AE⊥BC于E，如上图所示：
由题意得：ED=BD-BE=CE-CD，
∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴BE=CE=
1
2
BC，
由勾股定理可得：
AB2+AC2=BC2，
AE2=AB2-BE2=AC2-CE2，
AD2=AE2+ED2，
∴2AD2=2AE2+2ED2=AB2-BE2+（BD-BE）2+AC2-CE2+（CE-CD）2
=AB2+AC2+BD2+CD2-2BD×BE-2CD×CE
=AB2+AC2+BD2+CD2-2×
1
2
BC×BC
=BD2+CD2，
即：BD2+CD2=2AD2．
考点梳理
勾股定理．
作AE⊥BC于E，由于∠BAC=90°，AB=AC，所以BE=CE，要证明BD2+CD2=2AD2，只需找出BD、CD、AD三者之间的关系即可，由勾股定理可得出AD2=AE2+ED2，AE2=AB2-BE2=AC2-CE2，ED=BD-BE=CE-CD，代入求出三者之间的关系即可得证．
本题主要考查勾股定理，关键在于找出直角三角形利用勾股定理求证，本题主要运用“等量代换”求出BD、CD、AD三者之间的关系．
证明题．
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