试题

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=1，BC=

1

2

，以点C为圆心，CB为半径的弧交CA于点D；以点A为圆心，AD为半径的弧交AB于点E．
（1）求AE的长度；
（2）分别以点A、E为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点F（F与C在AB两侧），连接AF、EF，设EF交弧DE所在的圆于点G，连接AG，
①求证：△AEG∽△FEA；
②试猜想∠EAG的大小，并说明理由．

解：（1）在Rt△ABC中，由AB=1，BC=

1

2

得：
AC=

12+( 1 2 )2

=

5

2

，
∵BC=CD，AE=AD，
∴AE=AC-CD=

5 -1

2

．

（2）①理由如下：∵FA=FE=AB=1，AE=

5 -1

2

，
∴

AE

FA

=

5 -1

2

，
∴△FAE是黄金三角形，
∴∠F=36°，∠AEF=72°
∵AE=AG，FA=FE，
∴∠FAE=∠FEA=∠AGE，
∴△AEG∽△FEA，
②∵△AEG∽△FEA，
∴∠EAG=∠F=36°．
解：（1）在Rt△ABC中，由AB=1，BC=

1

2

得：
AC=

12+( 1 2 )2

=

5

2

，
∵BC=CD，AE=AD，
∴AE=AC-CD=

5 -1

2

．

（2）①理由如下：∵FA=FE=AB=1，AE=

5 -1

2

，
∴

AE

FA

=

5 -1

2

，
∴△FAE是黄金三角形，
∴∠F=36°，∠AEF=72°
∵AE=AG，FA=FE，
∴∠FAE=∠FEA=∠AGE，
∴△AEG∽△FEA，
②∵△AEG∽△FEA，
∴∠EAG=∠F=36°．