试题

如图，设AB是已知线段，在AB上作正方形ABCD；取AD的中点E，连接EB；延长DA至F，使EF=EB；以线段AF为边作正方形AFGH．则点H是AB的黄金分割点．
为什么说上述的方法作出的点H是这条线段的黄金分割点，你能说出其中的道理吗？请试一试，说一说．

解：设正方形ABCD的边长为2，
在Rt△AEB中，依题意，得AE=1，AB=2，
由勾股定理知EB=

AB2+AE2

=

4+1

=

5

，
∴AH=AF=EF-AE=EB-AE=

5

-1，
HB=AB-AH=3-

5

；
∴AH²=（

5

-1）²=6-2

5

，
AB·HB=2×（3-

5

）=6-2

5

，
∴AH²=AB·HB，
所以点H是线段AB的黄金分割点．
解：设正方形ABCD的边长为2，
在Rt△AEB中，依题意，得AE=1，AB=2，
由勾股定理知EB=

AB2+AE2

=

4+1

=

5

，
∴AH=AF=EF-AE=EB-AE=

5

-1，
HB=AB-AH=3-

5

；
∴AH²=（

5

-1）²=6-2

5

，
AB·HB=2×（3-

5

）=6-2

5

，
∴AH²=AB·HB，
所以点H是线段AB的黄金分割点．