试题

题目：
青果学院已知AB=20，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，DA=10，CB=5．
（1）在AB上找一点E，使EC=ED，并求出EA的长；
（2）在AB上找一点F，使FC+FD最小，并求出这个最小值．
答案
青果学院解：（1）作CD的垂直平分线，交AB于点E，连接DE，CE，
则ED=EC，
设EA=x，则BE=20-x，
（20-x）2+52=x2+102，
解得：x=
65
8
，
则AE=
65
8
；

（2）如图所示：作C点关于AE的对称点Q，连接DQ，交AE于点F，这时FC+FD最小，青果学院
延长DA，过Q作MQ∥AB，
∵AB=20，
∴QM=20，
∵C点关于AE的对称点Q，CB=5，
∴QB=AM=5，
∵AD=10，
∴MD=15，
在Rt△DQM中，DQ=
DM2+QM2
=
152+202
=25．
则FC+FD最小，这个最小值=25．
青果学院解：（1）作CD的垂直平分线，交AB于点E，连接DE，CE，
则ED=EC，
设EA=x，则BE=20-x，
（20-x）2+52=x2+102，
解得：x=
65
8
，
则AE=
65
8
；

（2）如图所示：作C点关于AE的对称点Q，连接DQ，交AE于点F，这时FC+FD最小，青果学院
延长DA，过Q作MQ∥AB，
∵AB=20，
∴QM=20，
∵C点关于AE的对称点Q，CB=5，
∴QB=AM=5，
∵AD=10，
∴MD=15，
在Rt△DQM中，DQ=
DM2+QM2
=
152+202
=25．
则FC+FD最小，这个最小值=25．
考点梳理
轴对称-最短路线问题；勾股定理．
（1））作CD的垂直平分线，交AB于点E，再根据勾股定理计算出AE的长即可；
（2）作C点关于AE的对称点Q，连接DQ，交AE于点F，这时FC+FD最小；延长DA，过Q作MQ∥AB构造直角三角形QMD，再利用勾股定理计算出QD的长度即可．
此题主要考查了轴对称最短路径，以及勾股定理的应用，在直线l上的同侧有两个点A、B，在直线l上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线l的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
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