试题

有4个工厂A、B、C、D，且AB=akm，BC=

2

2

akm，CD=

2

4

akm，∠ACB=90°，∠BCD=120°．现在要找一个供应站H的位置，使它到4个工厂的距离和HA+HB+HC+HD为最小，说明道理，并求出最小值．

解：根据题意作图有两种情况：

（1）A、B、C、D四点构成凸四边形，
连接AC、BD其交点H为所求供应站的位置，任取一点H′，就有H′A+H′C＞AC=HA+HC，
H′B+H′D＞BD=HB+HD，两式相加得：H′A+H′C+H′B+H′D＞HA+HB+HC+HD，所以H点到A、B、C、D的距离和为最小．
可求得AC=

AB2-BC2

=

2

2

a．过D作DE⊥BC的延长线，垂足为E．易知∠DCE=60°
∴CE=DC·cos60°=

2

8

a，∴DE²=BC²-CE²=BD²-（BC+EC）²=BD²-

25

32

a2，
∴BD²=

3

32

a2+

25

32

a2=

7

8

a2，
∴BD=

14

4

+．
∴HA+HB+HC+HD的最小值为BD+AC=（

14

4

+

2

2

）a．
（2）凹四边形．

连接AC，H点与C点重合，即C点为所求供应站的位置．不妨任取一点H′，若H′在DC、AC延长线所夹的角内，就有H′A+H′D＞HA+HD，H′B+H′C＞CB．
故得：H′A+H′C+H′B+H′D＞AC+CD+CB=HA+HB=HC=HD．
若H′在AC、BC延长线或BC、DC延长线所夹的角内，或在AC、BC、CD的延长线上，均可证得上述结论，
所以C点为所求H点位置．
AC=

AB2-BC2

=

2

2

a．
∴HA+HB+HC+HD的最小值为CA+CB+CD=

5 2

4

a．
解：根据题意作图有两种情况：

（1）A、B、C、D四点构成凸四边形，
连接AC、BD其交点H为所求供应站的位置，任取一点H′，就有H′A+H′C＞AC=HA+HC，
H′B+H′D＞BD=HB+HD，两式相加得：H′A+H′C+H′B+H′D＞HA+HB+HC+HD，所以H点到A、B、C、D的距离和为最小．
可求得AC=

AB2-BC2

=

2

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a．过D作DE⊥BC的延长线，垂足为E．易知∠DCE=60°
∴CE=DC·cos60°=

2

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a，∴DE²=BC²-CE²=BD²-（BC+EC）²=BD²-

25

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a2，
∴BD²=

3

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a2+

25

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a2=

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a2，
∴BD=

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+．
∴HA+HB+HC+HD的最小值为BD+AC=（

14

4

+

2

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）a．
（2）凹四边形．

连接AC，H点与C点重合，即C点为所求供应站的位置．不妨任取一点H′，若H′在DC、AC延长线所夹的角内，就有H′A+H′D＞HA+HD，H′B+H′C＞CB．
故得：H′A+H′C+H′B+H′D＞AC+CD+CB=HA+HB=HC=HD．
若H′在AC、BC延长线或BC、DC延长线所夹的角内，或在AC、BC、CD的延长线上，均可证得上述结论，
所以C点为所求H点位置．
AC=

AB2-BC2

=

2

2

a．
∴HA+HB+HC+HD的最小值为CA+CB+CD=

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a．