试题

一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等．试确定这个直角三角形三边的长．

解：假设符合条件的直角三角形存在，它的三边长为a、b、c，其中c为斜边，则
 a²+b²=c²，a+b+c=

ab

2

，
∵a、b、c均为正整数，
∴a≠b；不妨设a＞b，则有a+b+

a2+b2

=

ab

2

，
两边平方，并整理得，
 

a2b2

4

-a²b-ab²+2ab=0，
消去ab，得
 

ab

4

-a-b+2=0，即（a-4）（b-4）=8，
又∵8=1×8=2×4，
∴①a-4=8，b-4=1，解得：a=12，b=5，则c=13；
②a-4=4，b-4=2，解得：a=8，b=6，则c=10；
综上所述，符合条件的直角三角形的边长分别是5、12、13；6、8、10．
解：假设符合条件的直角三角形存在，它的三边长为a、b、c，其中c为斜边，则
 a²+b²=c²，a+b+c=

ab

2

，
∵a、b、c均为正整数，
∴a≠b；不妨设a＞b，则有a+b+

a2+b2

=

ab

2

，
两边平方，并整理得，
 

a2b2

4

-a²b-ab²+2ab=0，
消去ab，得
 

ab

4

-a-b+2=0，即（a-4）（b-4）=8，
又∵8=1×8=2×4，
∴①a-4=8，b-4=1，解得：a=12，b=5，则c=13；
②a-4=4，b-4=2，解得：a=8，b=6，则c=10；
综上所述，符合条件的直角三角形的边长分别是5、12、13；6、8、10．