试题

某校学习小组在开展研究性学习中，对同学们常用的两块直角三角板之间的关系进行了研究，发现了一个有趣的现象：“如果一个三角形中∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，当∠A=2∠B时，有a²-b²=bc”．
（1）请分别在图1和图2中证明上述结论成立；
（2）如图3，△ABC是任意三角形时，上述结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

解：（1）图1中，∠C=90°，B=30°，
∴a=

3

b，c=2b．
∴a²-b²=(

3

b)2-b²=2b²．而bc=b·（2b）=2b²，
∴a²-b²=bc成立．
图2中，∠A=90°，∠B=45°，
∴a²-b²=c²，b=c．
∴bc=c²．
∴a²-b²=bc也成立；

（2）在图3中，作∠CAB的平分线AD交BC于D．
∵∠A=2∠B，
∴∠CAD=∠DAB=∠B，得AD=BD，
∴△ACD∽△BCA，
故

CD

AC

=

AC

BC

=

AD

AB

，
由等比性质，得

CD+AD

AC+AB

=

AC

BC

，
∴

a

b+c

=

b

a

，
即a²-b²=bc．
解：（1）图1中，∠C=90°，B=30°，
∴a=

3

b，c=2b．
∴a²-b²=(

3

b)2-b²=2b²．而bc=b·（2b）=2b²，
∴a²-b²=bc成立．
图2中，∠A=90°，∠B=45°，
∴a²-b²=c²，b=c．
∴bc=c²．
∴a²-b²=bc也成立；

（2）在图3中，作∠CAB的平分线AD交BC于D．
∵∠A=2∠B，
∴∠CAD=∠DAB=∠B，得AD=BD，
∴△ACD∽△BCA，
故

CD

AC

=

AC

BC

=

AD

AB

，
由等比性质，得

CD+AD

AC+AB

=

AC

BC

，
∴

a

b+c

=

b

a

，
即a²-b²=bc．