设直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c．若a，b，c均为整数，且c=frac{1}{3}ab-（a+b），求满足条件的直角三角形的个数-青果题库-青果学院

题目：

设直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c．若a，b，c均为整数，且c=

1

3

ab-（a+b），求满足条件的直角三角形的个数．

答案

解：由勾股定理得，c²=a²+b²．
又∵c=

1

3

ab-（a+b），得c2=[

1

3

ab-(a+b)]2=

1

9

(ab)2-

2

3

ab(a+b)+(a+b)2．
即a2+b2=

1

9

(ab)2-

2

3

ab(a+b)+a2+2ab+b2．
整理得，ab-6（a+b）+18=0，即（a-6）（b-6）=18，
∵a，b均为正整数，不妨设a＜b，
可得

a-6=1

b-6=18

或

a-6=2

b-6=9

或

a-6=3

b-6=6

，
可解出

a=7

b=24

c=25

或

a=8

b=15

c=17

或

a=9

b=12

c=15 .

，
∴满足条件的直角三角形有3个．
故答案为：3．
解：由勾股定理得，c²=a²+b²．
又∵c=

1

3

ab-（a+b），得c2=[

1

3

ab-(a+b)]2=

1

9

(ab)2-

2

3

ab(a+b)+(a+b)2．
即a2+b2=

1

9

(ab)2-

2

3

ab(a+b)+a2+2ab+b2．
整理得，ab-6（a+b）+18=0，即（a-6）（b-6）=18，
∵a，b均为正整数，不妨设a＜b，
可得

a-6=1

b-6=18

或

a-6=2

b-6=9

或

a-6=3

b-6=6

，
可解出

a=7

b=24

c=25

或

a=8

b=15

c=17

或

a=9

b=12

c=15 .

，
∴满足条件的直角三角形有3个．
故答案为：3．

考点梳理

非一次不定方程（组）；勾股定理．

试题