试题

题目：
周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明共有几个？
答案
解：设存在如上的直角三角形，设两直角边分别为a，b，斜边为c，
∵a+b+c=6（1）；
a2+b2=c2（2）
∴（a+b）2=（6-c）2（3）
∵
1
2
ab=9-3c为整数，
∴c为整数或以3为分母的分数；
∵直角三角形斜边最长则有c＞2，根据三角形三边边长规律有c＜3；
∴2＜c＜3；
∴c应为以3为分母的分数，c=
7
3
或
8
3
；
当c=
7
3
时，根据（1）（2）式有：b=6或
4
3
，a=-
7
3
或
7
3
，不合题意．
当c=
8
3
时，根据（1）（2）式有：b=
5-
7
3
，a=
5+
7
3
或a=
5-
7
3
，b=
5+
7
3
，
∴这样的直角三角形存在，恰有一个，两条直角边为
5-
7
3
与
5+
7
3
，斜边为
8
3
．
解：设存在如上的直角三角形，设两直角边分别为a，b，斜边为c，
∵a+b+c=6（1）；
a2+b2=c2（2）
∴（a+b）2=（6-c）2（3）
∵
1
2
ab=9-3c为整数，
∴c为整数或以3为分母的分数；
∵直角三角形斜边最长则有c＞2，根据三角形三边边长规律有c＜3；
∴2＜c＜3；
∴c应为以3为分母的分数，c=
7
3
或
8
3
；
当c=
7
3
时，根据（1）（2）式有：b=6或
4
3
，a=-
7
3
或
7
3
，不合题意．
当c=
8
3
时，根据（1）（2）式有：b=
5-
7
3
，a=
5+
7
3
或a=
5-
7
3
，b=
5+
7
3
，
∴这样的直角三角形存在，恰有一个，两条直角边为
5-
7
3
与
5+
7
3
，斜边为
8
3
．
考点梳理
非一次不定方程（组）；勾股定理．
设存在如上的直角三角形，设两直角边分别为a，b，斜边为c，根据题意可得出关于a、b、c的方程，由勾股定理可判断出c的取值范围，进而求出c的值，把c的值代入不定方程即可求出b、c的值，找出符合条件的未知数的对应值即可．
本题考查的是非一次不定方程及勾股定理，根据题意判断出c的值是解答此题的关键．
证明题；探究型．
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