试题

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，点P、Q、R分别在三边AB、BC、CA上，PQ=QR=RP=x，CP交RQ于点K，两条直线RQ与AB相交于点T．若PQ∥AC，试求①x、②

RK

KQ

及③BT．

解：①
过点P作PH⊥AC于H，
又∵PQ=QR=RP，
∴∠RPQ=60°，
∴∠RPH=30°，
∴HP=

PR2-HR2

=

3

2

x=CQ，
∵PQ∥AC，
∴△PQB∽△ACB，
∴

PQ

AC

=

CQ

BC

=

x

1

=

1- 3 2 x

1

，
解得：x=4-2

3

；

②∵PQ∥AC，
∴△RKC∽△PKQ，
∴

PK

KQ

=

RC

PQ

，
∵∠RPH=30°，
∴HR=

1

2

RP=

1

2

PQ=RC，
∴

PK

KQ

=

1

2

；

③∵PQ∥AC，∠ACB=90°，
∴PH∥BC，∠CAB=∠ABC=45°，
∴BP=

PQ2+QB2

=

2

x=

2

×（4-2

3

），
∵AC=BC=1，
∴AB=

2

，
∵四边形HPQR是矩形，
∴HP=CQ，
∴AR=AH+HR=HP+HR=

3

2

x+

1

2

x，
将x=4-2

3

代入上式得，AR=

3

-1，
，∵PQ∥AC，
∴△PQT∽△ART，
∴

PQ

AR

=

PT

AT

=

4-2 3

AT

=

BP+BT

AB+BT

，
解得BT=

6

-

2

．
解：①
过点P作PH⊥AC于H，
又∵PQ=QR=RP，
∴∠RPQ=60°，
∴∠RPH=30°，
∴HP=

PR2-HR2

=

3

2

x=CQ，
∵PQ∥AC，
∴△PQB∽△ACB，
∴

PQ

AC

=

CQ

BC

=

x

1

=

1- 3 2 x

1

，
解得：x=4-2

3

；

②∵PQ∥AC，
∴△RKC∽△PKQ，
∴

PK

KQ

=

RC

PQ

，
∵∠RPH=30°，
∴HR=

1

2

RP=

1

2

PQ=RC，
∴

PK

KQ

=

1

2

；

③∵PQ∥AC，∠ACB=90°，
∴PH∥BC，∠CAB=∠ABC=45°，
∴BP=

PQ2+QB2

=

2

x=

2

×（4-2

3

），
∵AC=BC=1，
∴AB=

2

，
∵四边形HPQR是矩形，
∴HP=CQ，
∴AR=AH+HR=HP+HR=

3

2

x+

1

2

x，
将x=4-2

3

代入上式得，AR=

3

-1，
，∵PQ∥AC，
∴△PQT∽△ART，
∴

PQ

AR

=

PT

AT

=

4-2 3

AT

=

BP+BT

AB+BT

，
解得BT=

6

-

2

．