试题

如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D、E为BC上两点，∠DAE=45°，F为△ABC外一点，且FB⊥BC，FA⊥AE，则下列结论：①CE=BF；②BD²+CE²=DE²；③S△ADE=

1

4

AD·EF；④CE²+BE²=2AE²，其中正确的是（　　）
A．①②③④
B．①②④
C．①③④
D．②③

A
解：①∵∠BAC=90°，FA⊥AE，∠DAE=45°，
∴∠CAE=90°-∠DAE-∠BAD=45°-∠BAD，
∠FAB=90°-∠DAE-∠BAD=45°-∠BAD，
∴∠FAB=∠EAC，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵FB⊥BC，
∴∠FAB=45°，
∴△AFB≌△AEC，
∴CE=BF，故①正确，
②：由①中证明△AFB≌△AEC，
∴AF=AE，
∵∠DAE=45°，FA⊥AE，
∴∠FAD=∠DAE=45°，
∴△AFD≌△AED，
连接FD，
∵FB=CE，
∴FB²+BD²=FD²=DE²，故②正确，
③：∵∠FAD=∠EAD=45°，AF=AE，
∴AD⊥EF，EF=2EG，
∴S_△ADE=

1

2

·AD·EG=

1

2

·AD·

1

2

EF=

1

4

· AD·EF，
故③正确，
④：∵FB²+BE²=EF²，CE=BF，
∴CE²+BE²=EF²，
在RT△AEF中，AF=AE，
AF²+AE²=EF²，
∴EF²=2AE²，
∴CE²+BE²=2AE²，故④正确．
故选A．