试题

题目：
已知△ABC中三边长分别为a，b，c，相应边上的中线长为ma，mb，mc．
求证：bc-
a2
4
≤
m
2
a
≤bc+
a2
4
．
答案
青果学院证明：利用勾股定理可以证明b2+c2=2
m
2
a
+
1
2
a2，
∴
m
2
a
=
b2+c2
2
-
a2
4
=
(b-c)2
2
+bc-
a2
4
≥bc-
a2
4
，
又
m
2
a
=
b2+c2
2
-
a2
4
，
=
b2+c2-a2
2
+
a2
4
=
2bc+(b-c)2-a2
2
+
a2
4
=bc+
(b-c+a)(b-c-a)
2
+
a2
4
，
∵b-c-a=b-（a+c）＜0，
b-c+a=（a+b）-c＞0，
∴
m
2
a
＜bc+
a2
4
，
∴bc-
a2
4
＜
m
2
a
＜bc+
a2
4
．
青果学院证明：利用勾股定理可以证明b2+c2=2
m
2
a
+
1
2
a2，
∴
m
2
a
=
b2+c2
2
-
a2
4
=
(b-c)2
2
+bc-
a2
4
≥bc-
a2
4
，
又
m
2
a
=
b2+c2
2
-
a2
4
，
=
b2+c2-a2
2
+
a2
4
=
2bc+(b-c)2-a2
2
+
a2
4
=bc+
(b-c+a)(b-c-a)
2
+
a2
4
，
∵b-c-a=b-（a+c）＜0，
b-c+a=（a+b）-c＞0，
∴
m
2
a
＜bc+
a2
4
，
∴bc-
a2
4
＜
m
2
a
＜bc+
a2
4
．
考点梳理
勾股定理．
根据勾股定理找到a、b、c与ma2的关系，即b2+c2=2
m
2
a
+
1
2
a2，整理可得ma2的不等式，可以证明
m
2
a
＜bc+
a2
4
，得
bc-
a2
4
＜
m
2
a
＜bc+
a2
4
．
本题考查了勾股定理在直角三角形中的灵活运用，本题中正确的运用勾股定理并且根据不等式求出
m
2
a
＜bc+
a2
4
是解题的关键．
证明题．
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