试题

题目：
青果学院（2004·杭州）如图，在Rt△ABC中，AF是斜边上的高线，且BD=DC=FC=1，则AC的长为（　　）



答案
A
青果学院解：如图，过D作BC边上的高DE．
设AD的长为x，Rt△ADB中，由勾股定理
AB=
1-x2

等腰△DCB中，DE⊥BC，
∴E为BC的中点
又∵AF⊥BC，
∴△CDE∽△CAF
∴CD：CA=CE：CF
即
1
x+1
=CE
∴BC=2CE=
2
x+1

直角△ABC中，由勾股定理可知
AB2+AC2=BC2
即1-x2+（1+x）2=
4
(1+x)2

解得x=
32
-1
∴AC=AD+CD=
32
-1+1=
32
．
故选A．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理．
首先设出AD的长，过D作BC的垂线DE，易知△CDE∽△CAF，可利用x表示出CE的长，由等腰三角形三线合一的性质可得到BC=2CE，即可知BC的表达式，而在Rt△ADB中，利用勾股定理易求得AB的表达式，那么在Rt△ABC中，根据AB、AC、BC的表达式，可利用勾股定理列出关于x的方程，由此求得AD的长．
本题是一道综合性较强的题目，需要同学们把等腰三角形的两条腰相等、两个底角相等、三角形内角和为180度结合起来解答．
压轴题．
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