试题

（2013·怀柔区一模）图甲是某科研小组设计从井底打捞物体A的装置示意图．图中虚线框里是滑轮组（未画出），滑轮组绳子的自由端H由电动机拉动．该装置由悬挂机构和提升装置两部分组成．悬挂机构由支架AD和杠杆CB构成，CO：OB=4：1．配重E通过绳子竖直拉着杠杆B端，其质量m_E=200kg．安装在杠杆C端的提升装置由支架、定滑轮K、动滑轮M及电动机Q构成．其中支架和电动机Q的质量m_Q=6.2kg，定滑轮K和动滑轮M的质量均为m_K．可利用遥控电动机拉动绳子，通过滑轮组提升物体．物体A完全在水中匀速上升的过程中，电动机Q的功率P₁为60W，绳子自由端H的拉力F₁为20N，物体A上升速度大小为v₁，地面对配重E的支持力为N₁，滑轮组的机械效率为η₁；物体A全部露出水面匀速竖直上升的过程中，电动机Q的功率为P₂，绳子自由端H的拉力为F₂，物体A上升速度大小为v₂，地面对配重E的支持力为N₂，滑轮组的机械效率η₂为95%；滑轮组提升物体A的过程中，杠杆CB在水平位置保持平衡．物体A上升的速度在水中以及完全出水后随时间的变化如图乙所示．已知N₁=6N₂．细绳和杠杆的质量、滑轮与轴的摩擦、水对物体A的阻力均忽略不计，g取10N/kg．

求：
（1）动滑轮M的质量m_K；
（2）物体A全部露出水面匀速上升时电动机的功率P₂；
（3）物体A的密度ρ．

解：
出水前：物体A和动滑轮M；定滑轮K及与电动机Q；杠杆BC；配重E受力分析如图1、2、3、4．
出水后：物体A和动滑轮M；定滑轮K及与电动机Q；杠杆BC；配重E受力分析如图5、6、7、8．
（1）由物体A完全在水中匀速上升时，绳子H端的拉力为F₁，H端上升速度如图乙所示．
P₁=F₁×nv₁=20N×n×1m/s=60W，
解得：n=3，
在水中时，F_C1′=F_C1，F_B1′=F_B1，F_C1×CO=F_B1×OB
F_C1′=3F₁+G_Q+G_K
F_B1=

CO

OB

F_C1=4F_C1=4（3F₁+G_Q+G_K）
N₁=G_E-F_B1=G_E-4（3F₁+G_Q+G_K）=m_Eg-4×（3×20N+m_Qg+G_K）=200kg×10N/kg-4×（3×20N+6.2kg×10N/kg+G_K）=1512N-4G_K----------①
出水后，η₂=

W有2

W总2

=

GA

GA+GK

=95%，
解得：G_A=19G_K，
3F₂=G_A+G_K=20G_K，
N₂=G_E-F_B2=G_E-4（3F₂+G_Q+G_K）=G_E-4（G_Q+21G_K）=m_Eg-4×（m_Qg+21G_K）=200kg×10N/kg-4×（6.2kg×10N/kg+21G_K）=1752N-84G_K----------②
由题知，

N1

N2

=

1512N-4GK

1752N-84GK

=

6

1

解得：G_K=18N，
∵G=mg，
∴m_K=1.8kg；
（2）∵3F₂=20G_K=20×18N，
∴F₂=120N，
P₂=F₂×nv₂=120N×3×0.6m/s=216W，
（3）G_A=19G_K=19×18N=342N，
m_A=

GA

g

=

342N

10N/kg

=34.2kg，
F_浮=3F₂-3F₁=3（120N-20N）=300N，
∵F_浮=ρ_水V_排g=ρ_水V_Ag，
即：300N=1×10³kg/m³×V_A×10N/kg，
解得：V_A=0.03m³，
ρ_A=

mA

VA

=

34.2kg

0.03m3

=1.14×10³kg/m³．
答：（1）动滑轮M的质量为1.8kg；
（2）物体A全部露出水面匀速上升时电动机的功率为216W；
（3）物体A的密度为1.14×10³kg/m³．
解：
出水前：物体A和动滑轮M；定滑轮K及与电动机Q；杠杆BC；配重E受力分析如图1、2、3、4．
出水后：物体A和动滑轮M；定滑轮K及与电动机Q；杠杆BC；配重E受力分析如图5、6、7、8．
（1）由物体A完全在水中匀速上升时，绳子H端的拉力为F₁，H端上升速度如图乙所示．
P₁=F₁×nv₁=20N×n×1m/s=60W，
解得：n=3，
在水中时，F_C1′=F_C1，F_B1′=F_B1，F_C1×CO=F_B1×OB
F_C1′=3F₁+G_Q+G_K
F_B1=

CO

OB

F_C1=4F_C1=4（3F₁+G_Q+G_K）
N₁=G_E-F_B1=G_E-4（3F₁+G_Q+G_K）=m_Eg-4×（3×20N+m_Qg+G_K）=200kg×10N/kg-4×（3×20N+6.2kg×10N/kg+G_K）=1512N-4G_K----------①
出水后，η₂=

W有2

W总2

=

GA

GA+GK

=95%，
解得：G_A=19G_K，
3F₂=G_A+G_K=20G_K，
N₂=G_E-F_B2=G_E-4（3F₂+G_Q+G_K）=G_E-4（G_Q+21G_K）=m_Eg-4×（m_Qg+21G_K）=200kg×10N/kg-4×（6.2kg×10N/kg+21G_K）=1752N-84G_K----------②
由题知，

N1

N2

=

1512N-4GK

1752N-84GK

=

6

1

解得：G_K=18N，
∵G=mg，
∴m_K=1.8kg；
（2）∵3F₂=20G_K=20×18N，
∴F₂=120N，
P₂=F₂×nv₂=120N×3×0.6m/s=216W，
（3）G_A=19G_K=19×18N=342N，
m_A=

GA

g

=

342N

10N/kg

=34.2kg，
F_浮=3F₂-3F₁=3（120N-20N）=300N，
∵F_浮=ρ_水V_排g=ρ_水V_Ag，
即：300N=1×10³kg/m³×V_A×10N/kg，
解得：V_A=0.03m³，
ρ_A=

mA

VA

=

34.2kg

0.03m3

=1.14×10³kg/m³．
答：（1）动滑轮M的质量为1.8kg；
（2）物体A全部露出水面匀速上升时电动机的功率为216W；
（3）物体A的密度为1.14×10³kg/m³．