试题

如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），C（b，2），且满足（a+b）²+|a-b+4|=0，过C作CB⊥x轴于B．
（1）求三角形ABC的面积．
（2）若过B作BD∥AC交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，如图2，求∠AED的度数．
（3）在y轴上是否存在点P，使得三角形ABC和三角形ACP的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵（a+b）²≥0，|a-b+4|≥0，（a+b）²+|a-b+4|=0
∴a=-b，a-b+4=0，
∴a=-2，b=2，
∵CB⊥AB
∴A（-2，0），B（2，0），C（2，2）

∴三角形ABC的面积=

1

2

×4×2=4；


（2）∵CB∥y轴，BD∥AC，
∴∠CAB=∠ABD，

∴∠3+∠4+∠5+∠6=90°，
过E作EF∥AC，
∵BD∥AC，
∴BD∥AC∥EF，
∵AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，
∴∠3=∠4=∠1，∠5=∠6=∠2，
∴∠AED=∠1+∠2=

1

2

×90°=45°；


（3）存在．理由如下：
设P点坐标为（0，t），直线AC的解析式为y=kx+b，

把A（-2，0）、C（2，2）代入得

-2k+b=0 2k+b=2

，解得

k= 1 2 b=1

，

∴直线AC的解析式为y=

1

2

x+1，

∴G点坐标为（0，1），

∴S_△PAC=S_△APG+S_△CPG=

1

2

|t-1|·2+

1

2

|t-1|·2=4，解得t=3或-1，

∴P点坐标为（0，3）或（-1，0）．
解：（1）∵（a+b）²≥0，|a-b+4|≥0，（a+b）²+|a-b+4|=0
∴a=-b，a-b+4=0，
∴a=-2，b=2，
∵CB⊥AB
∴A（-2，0），B（2，0），C（2，2）

∴三角形ABC的面积=

1

2

×4×2=4；


（2）∵CB∥y轴，BD∥AC，
∴∠CAB=∠ABD，

∴∠3+∠4+∠5+∠6=90°，
过E作EF∥AC，
∵BD∥AC，
∴BD∥AC∥EF，
∵AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，
∴∠3=∠4=∠1，∠5=∠6=∠2，
∴∠AED=∠1+∠2=

1

2

×90°=45°；


（3）存在．理由如下：
设P点坐标为（0，t），直线AC的解析式为y=kx+b，

把A（-2，0）、C（2，2）代入得

-2k+b=0 2k+b=2

，解得

k= 1 2 b=1

，

∴直线AC的解析式为y=

1

2

x+1，

∴G点坐标为（0，1），

∴S_△PAC=S_△APG+S_△CPG=

1

2

|t-1|·2+

1

2

|t-1|·2=4，解得t=3或-1，

∴P点坐标为（0，3）或（-1，0）．