试题

四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AE、CF分别是∠BAD和∠DCB的内角平分线和外角平分线，
（1）分别在图1、图2、图3下面的横线上写出AE与CF的位置关系；
（2）选择其中一个图形，证明你得出的结论．

解：（1）图1中AE∥FC；
图2中AE∥FC；
图3中AE⊥FC．

（2）选择图1证明．如图：
∵∠BAD+∠BCD=∠1+∠2+∠3+∠4=360°-（∠B+∠D）=360°-180°=180°，
又∵AE、CF分别是∠BAD和∠DCB的内角平分线，
∴∠1+∠3=

1

2

∠BAD+

1

2

∠BCD=

1

2

（∠BAD+∠BCD）=

1

2

×180°=90°．
又∵∠B=90°，
∴∠1+∠5=90°，
∴∠3=∠5，
∴AE∥FC；

选择图2证明，如图，
∵∠B=∠D=90°，
∴∠BAD+∠BCD=360°-2×90°=180°，
∴

1

2

∠BAD+

1

2

∠BCD=90°，
∴∠GAD=∠BCD，
∵AE是∠GAD的角平分线，
∴∠1=

1

2

∠GAD=

1

2

∠BCD，
同理可得：∠2=

1

2

∠BAD，
∴∠1+

1

2

∠BAD=90°，
延长CD交AE于点P，∠ADC=90°，
∴∠1+∠P=90°，
∴∠P=

1

2

∠BAD，
即∠P=∠2，
∴AE∥FC（同位角相等，两直线平行）；
选择图3证明．如图：
∵∠B+∠BAD+∠D+∠DCB=360°，
又∵∠B=∠D=90°，
∴∠BAD+∠DCB=180°，
∵∠DCB+∠BCE=180°，
∴∠BAD=∠BCE，
∵AE、AF分别是∠BAD和∠DCB的内角平分线和外角平分线，
∴∠1=

1

2

∠BAD，∠2=

1

2

∠BCE，
∴∠1=∠2，
∵∠3=∠4，∠1+∠B+∠4=180°，∠2+∠CMA+∠3=180°，
∵∠B=90°∠1+∠4=∠2+∠3，
∴∠CMA=∠B=90°，
∴AE⊥CF．
解：（1）图1中AE∥FC；
图2中AE∥FC；
图3中AE⊥FC．

（2）选择图1证明．如图：
∵∠BAD+∠BCD=∠1+∠2+∠3+∠4=360°-（∠B+∠D）=360°-180°=180°，
又∵AE、CF分别是∠BAD和∠DCB的内角平分线，
∴∠1+∠3=

1

2

∠BAD+

1

2

∠BCD=

1

2

（∠BAD+∠BCD）=

1

2

×180°=90°．
又∵∠B=90°，
∴∠1+∠5=90°，
∴∠3=∠5，
∴AE∥FC；

选择图2证明，如图，
∵∠B=∠D=90°，
∴∠BAD+∠BCD=360°-2×90°=180°，
∴

1

2

∠BAD+

1

2

∠BCD=90°，
∴∠GAD=∠BCD，
∵AE是∠GAD的角平分线，
∴∠1=

1

2

∠GAD=

1

2

∠BCD，
同理可得：∠2=

1

2

∠BAD，
∴∠1+

1

2

∠BAD=90°，
延长CD交AE于点P，∠ADC=90°，
∴∠1+∠P=90°，
∴∠P=

1

2

∠BAD，
即∠P=∠2，
∴AE∥FC（同位角相等，两直线平行）；
选择图3证明．如图：
∵∠B+∠BAD+∠D+∠DCB=360°，
又∵∠B=∠D=90°，
∴∠BAD+∠DCB=180°，
∵∠DCB+∠BCE=180°，
∴∠BAD=∠BCE，
∵AE、AF分别是∠BAD和∠DCB的内角平分线和外角平分线，
∴∠1=

1

2

∠BAD，∠2=

1

2

∠BCE，
∴∠1=∠2，
∵∠3=∠4，∠1+∠B+∠4=180°，∠2+∠CMA+∠3=180°，
∵∠B=90°∠1+∠4=∠2+∠3，
∴∠CMA=∠B=90°，
∴AE⊥CF．