试题

题目：
青果学院小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一高压输电的铁架，小山的坡面坡度为1：
3
，斜坡BD的长是50米，在山坡的坡底B处测得铁架顶端A的仰角为45°，在山坡的坡顶D处测得铁架顶端A的仰角为60°．则小山的高度为
25
25
米，铁架的高度为
25
3
25
3
米（结果保留根号）．
答案
25

25
3

青果学院解：过D作DF⊥BC，交BC于点F，
∵小山的坡面坡度为1：
3
，即tan∠DBF=
3
3
，
∴∠DBF=30°，
又∠ADE=60°，∠AED=90°，
∴∠DAE=30°，
∵∠CBA=∠CAB=45°，
∴∠CBA-∠DBF=∠CAB-∠DAE，即∠DAB=∠DBA，
∴DB=DA，
在△ADE和△BDF中，
∵
∠DAE=∠DBF=30°
∠AED=∠BFD=90°
AD=BD
，
∴△ADE≌△BDF（AAS），
∴AE=BF，
在Rt△BDF中，∠DBF=30°，BD=50米，
∴DF=
1
2
BD=25米，
根据勾股定理得：BF=
BD2-DF2
=25
3
米，
则小山的高度为25米，铁架的高度为25
3
米．
故答案为：25；25
3
考点梳理
解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
过D作DF垂直于BC，交BC于点F，在直角三角形BDF中，由小山的坡面坡度为1：
3
，得出∠DBF=30°，再由∠ADE=60°，∠AED=90°，利用内角和定理得到∠DAE=30°，可得出一对角相等，再由∠CBA=∠CAB=45°，利用等式的性质得到∠DAB=∠DBA，利用等角对等边得到BD=AD，再由一对直角相等，利用AAS可得出△ADE≌△BDF，利用全等三角形的对应边相等得到BF=AE，即BF为铁塔的高，DF为小山的高，在直角三角形BDF中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半，由BD的长求出DF的长，再利用勾股定理求出BF的长，即为AE的长，即可确定出小山与铁塔的高．
此题考查了解直角三角形的应用-坡面与坡角问题以及仰角与俯角问题，涉及的知识有：特殊角的三角函数值，全等三角形的判定与性质，含30°直角三角形的性质，以及勾股定理，是一道综合性较强的试题．
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