试题

题目：
数学兴趣小组成员，为了从一张腰长为2的等腰直角三角形的纸片中剪出一个尽可能大的正方形，探究出甲、乙两种剪法（图甲、图乙）
（1）请计算说明甲、乙两种解法哪种剪出的正方形纸片更大．
（2）李明同学想从一张直角边分别为3、4的三角形纸片中，剪出一个边长为1.7的正方形能做到吗？若能，请说明理由，并在图中用虚线画出所剪正方形；若不能，请说明不能的理由．
青果学院
答案
解：（1）如图甲所示：设正方形的边长为x，则AE=2-x，
∵DE⊥AC，BC⊥AC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
AE
AC
=
DE
BC
，
2-x
2
=
x
2
，
解得x=1，
∴S正方形=1；
如图乙所示：
∵等腰直角三角形的边长为2，
∴AB=
AC2+BC2
=
22+22
=2
2
，
设正方形的边长为x，则AD=
2
2
-x
2
=
2
-
x
2
，
∵∠A=∠A，∠ADE=∠ACB，
∴△ADE∽△ACB，
∴
AD
AC
=
DE
BC
，
2
-
x
2
2
=
x
2
，
解得x=
2
2
3

∴S正方形=（
2
2
3
）2=
8
9
；
∵1＞
8
9
，
∴甲种剪法面积更大；
青果学院

（2）能．
如图丙所示：
设正方形的边长为x，则AE=3-x，
∵DE⊥AC，BC⊥AC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
AE
AC
=
DE
BC
，
3-x
3
=
x
4
，
解得x=
12
7
≈1.71＞1.7，
∴剪出一个边长为1.7的正方形．
解：（1）如图甲所示：设正方形的边长为x，则AE=2-x，
∵DE⊥AC，BC⊥AC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
AE
AC
=
DE
BC
，
2-x
2
=
x
2
，
解得x=1，
∴S正方形=1；
如图乙所示：
∵等腰直角三角形的边长为2，
∴AB=
AC2+BC2
=
22+22
=2
2
，
设正方形的边长为x，则AD=
2
2
-x
2
=
2
-
x
2
，
∵∠A=∠A，∠ADE=∠ACB，
∴△ADE∽△ACB，
∴
AD
AC
=
DE
BC
，
2
-
x
2
2
=
x
2
，
解得x=
2
2
3

∴S正方形=（
2
2
3
）2=
8
9
；
∵1＞
8
9
，
∴甲种剪法面积更大；
青果学院

（2）能．
如图丙所示：
设正方形的边长为x，则AE=3-x，
∵DE⊥AC，BC⊥AC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
AE
AC
=
DE
BC
，
3-x
3
=
x
4
，
解得x=
12
7
≈1.71＞1.7，
∴剪出一个边长为1.7的正方形．
考点梳理
相似三角形的应用；一元二次方程的应用．
（1）设正方形的边长为x，再根据相似三角形的性质计算出其边长，并比较出其大小即可；
（2）设正方形的边长为x，则AE=3-x，根据DE⊥AC，BC⊥AC，故可得出△ADE∽△ABC，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出x的值，再与1.7相比较即可．
本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
压轴题．
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