试题

题目：
一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连接三角形各边中点，则可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形．我们把△DEF（图乙）第一次顺次连接各边中点所进行的分割，称为1阶分割（如图1）；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连接它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割（如图2）…，依此规则操作下去．n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（n为正整数），设此时小三角形的面积为Sn．请写出一个反映Sn-1，Sn，Sn+1（n＞1）之间关系的等式
Sn2=Sn-1·Sn+1
Sn2=Sn-1·Sn+1
．青果学院
答案
Sn2=Sn-1·Sn+1

解：设△DEF的面积是a
则Sn-1=
a
4n-1
，Sn=
a
4n
，Sn+1=
a
4n+1

根据(
a
4n
)2=
a
4n-1
·
a
4n+1

因而Sn-1，Sn，Sn+1三者之间关系式是Sn2=Sn-1·Sn+1．
∴三者之间关系式是Sn2=Sn-1·Sn+1．
考点梳理
相似图形．
1阶三角形有4个，把这4个三角形再分，每个分成4个，即共有42个三角形，即2阶三角形有42个三角形，进而可以得到n阶三角形有4n个三角形．
这是一个猜想规律的问题，解题的关键是根据规律，能判断出n阶分割后小三角形的个数．
压轴题；规律型．
找相似题