试题

题目：
青果学院在△ABC中，AB=AC=2，BC=
5
-1，∠A=36°，BD平分∠ABC，交于AC于D．试说明点D是线段AC的黄金分割点．
答案
证明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=
1
2
（180°-36°）=72°，
∵BD平分∠ABC，交于AC于D，
∴∠DBC=
1
2
×∠ABC=
1
2
×72°=36°，青果学院
∴∠A=∠DBC，
又∵∠C=∠C，
∴△BCD∽△ABC，
∴
BC
AB
=
CD
BC

∵AB=AC，
∴
BC
AC
=
CD
BC
，
∵AB=AC=2，BC=
5
-1，
∴（
5
-1）2=2×（2-AD），
解得AD=
5
-1，
AD：AC=（
5
-1）：2．
∴点D是线段AC的黄金分割点．
证明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=
1
2
（180°-36°）=72°，
∵BD平分∠ABC，交于AC于D，
∴∠DBC=
1
2
×∠ABC=
1
2
×72°=36°，青果学院
∴∠A=∠DBC，
又∵∠C=∠C，
∴△BCD∽△ABC，
∴
BC
AB
=
CD
BC

∵AB=AC，
∴
BC
AC
=
CD
BC
，
∵AB=AC=2，BC=
5
-1，
∴（
5
-1）2=2×（2-AD），
解得AD=
5
-1，
AD：AC=（
5
-1）：2．
∴点D是线段AC的黄金分割点．
考点梳理
黄金分割．
根据等腰三角形的两底角相等以及角平分线的定义求出∠DBC=36°，从而证明△BDC与△ABC相似，根据相似三角形对应边成比例列出比例式，代入数据计算出AD的值，根据数据即可判定点D是线段AC的黄金分割点．
本题考查了学生黄金分割点的证明，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值（
5
-1
2
）叫做黄金比．
证明题．
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