试题

题目：
青果学院如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，若以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB有两个交点，则R的取值范围是
2.4＜R≤3
2.4＜R≤3
．
答案
2.4＜R≤3

青果学院解：如图，
∵BC＞AC，
∴以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB有两个交点，则圆的半径应大于CD，小于或等于AC，
由勾股定理知，AB=
AC2+BC2
=5．
∵S△ABC=
1
2
AC·BC=
1
2
CD·AB=
1
2
×3×4=
1
2
×5·CD，
∴CD=2.4，
即R的取值范围是2.4＜R≤3．
考点梳理
直线与圆的位置关系；垂线段最短；勾股定理．
要使圆与斜边AB有两个交点，则应满足直线和圆相交，且半径不大于AC．要保证相交，只需求得相切时，圆心到斜边的距离，即斜边上的高即可．
本题利用了勾股定理和垂线段最短的定理，以及直角三角形的面积公式求解．
特别注意：圆与斜边有两个交点，即两个交点都应在斜边上．
计算题；压轴题．
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