试题

关于x的方程x²+2x+2

x2+2x+2p

-p2=0，其中p是实数．
（1）若方程没有实数根，求P的范围；
（2）若p＞0，问p为何值时，方程有两个相等的实数根？并求出这两个根．

解：（1）令

x2+2x+2p

=y，①
则原方程变为y²+2y-（p²+2p）=0．
∵△=4+4（p²+2p）=4（p²+2p+1）=4（p+1）2≥0，
即y₁=p，y₂=-2-p．
若原方程没有实数根，只须

p＜0 -2-p＜0

解这个不等式组，得-2＜p＜0．

（2）∵p＞0，把y₁=p代入①，得

x2+2x+2p

=p②
而y₂=-2-p＜0，舍去．
将②式平方，整理得x²+2x-（p²-2p）=0．③
令△=4+4（p²-2p）=4（p²-2p+1）=4（p-1）²=0，解得p=1．
当p=1时，原方程有两个相等的实数根．把p=1代入③，得x²+2x+1=0，
∴x₁=x₂=-1．
经检验，当p=1时，x₁=x₂=-1是原方程的根．
解：（1）令

x2+2x+2p

=y，①
则原方程变为y²+2y-（p²+2p）=0．
∵△=4+4（p²+2p）=4（p²+2p+1）=4（p+1）2≥0，
即y₁=p，y₂=-2-p．
若原方程没有实数根，只须

p＜0 -2-p＜0

解这个不等式组，得-2＜p＜0．

（2）∵p＞0，把y₁=p代入①，得

x2+2x+2p

=p②
而y₂=-2-p＜0，舍去．
将②式平方，整理得x²+2x-（p²-2p）=0．③
令△=4+4（p²-2p）=4（p²-2p+1）=4（p-1）²=0，解得p=1．
当p=1时，原方程有两个相等的实数根．把p=1代入③，得x²+2x+1=0，
∴x₁=x₂=-1．
经检验，当p=1时，x₁=x₂=-1是原方程的根．