试题

题目：
方程
1
x
(
x
+1)
+
1
(
x
+1)(
x
+2)
+…+
1
(
x
+8)(
x
+9)
=
1
4
的解是
9
9
．
答案
9

解：设
x
=y，
则原方程变形为：
1
y(y+1)
+
1
(y+1)(y+2)
+…+
1
(y+8)(y+9)
=
1
4
，
∴
1
y
-
1
y+1
+
1
y+1
-
1
y+2
+…+
1
y+8
-
1
y+9
=
1
4
，
∴
1
y
-
1
y+9
=
1
4
，
∴4y+36-4y=y2+9y，
∴y2+9y-36=0，
∴（y+12）（y-3）=0，
∴y=-12或y=3，
∵
x
≥0，
∴
x
=3，
∴x=9．
故答案为：9．
考点梳理
无理方程．
首先利用换元法，设
x
=y，然后由
1
y(y+1)
=
1
y
-
1
y+1
，将方程化简为：
1
y
-
1
y+9
=
1
4
，解此方程即可求得答案．
此题考查了无理方程的求解方法．注意利用换元法是解此题的关键，还要注意
1
y(y+1)
=
1
y
-
1
y+1
知识的应用．
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