试题

题目：
观察下列等式；
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
将以上三个等式两边分别相加得；
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
=1-
1
2
+-
1
3
+
1
3
-
1
4
=1-
1
4
=
3
4
．
（1）猜想并写出
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
1
n
-
1
n+1
；
（2）计算
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2009×2010
；
（3）计算
1
2
+
1
6
+
1
12
+
1
20
+…+
1
90
；
（4）计算
1
4
+
1
12
+
1
24
+
1
40
+…+
1
180
．
答案
1
n
-
1
n+1

解：（1）
1
n
-
1
n+1
（2分）
（2）原式=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
2009
-
1
2010

=1-
1
2010

=
2009
2010
（6分）
（3）原式=
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
9×10

=1-
1
10

=
9
10
（10分）
（4）原式=
1
2
×
1
2
+
1
2
×
1
6
+
1
2
×
1
12
+…+
1
2
×
1
90

=
1
2
（
1
2
+
1
6
+
1
12
+
1
20
+…+
1
90
）
=
1
2
×
9
10

=
9
20
（14分）
考点梳理
规律型：数字的变化类．
（1）由规律得
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
；
（2）由（1）的规律，分别将每一个式子写成两个分数差的形式，再计算；
（3）逆用规律，再计算；
（4）根据
1
4
+
1
12
+
1
24
+
1
40
+…+
1
180
=
1
2
（
1
2
+
1
6
+
1
12
+
1
20
+…+
1
90
）计算即可．
本题考查了利用规律解题，解决此题的关键是题目给出的规律：
1
1×2
+
1
2×3
+…+
1
n(n+1)
=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
n
-
1
n+1
=1-
1
n+1
．
规律型．
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