试题

题目：
青果学院如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4．以斜边AB的中点D为旋转中心，把△ABC按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜120°），当点A的对应点与点C重合时，B，C两点的对应点分别记为E，F，EF与AB的交点为G，此时α等于
60
60
°，△DEG的面积为
3
2
3
2
．
答案
60

3
2

解：∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠A=60°，AC=
1
2
AB=2，
∵以斜边AB的中点D为旋转中心，点A的对应点与点C重合，
∴DA=DC，
∴∠A=∠ACD=60°，
∴△ADC是等边三角形，
AC=AD=DC=2，∠ADC=60°=∠EDG，
∴DE=CE-CD=4-2=2，∠DGE=90°，
∵∠E=30°，
∴DG=
1
2
DE=1，
由勾股定理得：GE=
3
，
∴S△DEG=
1
2
DG×GE=
1
2
×1×
3
=
3
2
．
故答案为：60，
3
2
．
考点梳理
旋转的性质；三角形的面积；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．
根据直角三角形性质求出AC，∠A，根据旋转性质求出DA=DC，得出等边三角形ADC，求出∠EDG=60°和DC，求出ED长，求出∠DGE=90°，求出DG和EG，根据三角形的面积公式求出即可．
本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，含30度角的直角三角形性质，三角形的面积等知识点的运用，关键是求出DG和EG的长，主要考查学生分析问题和解决问题的能力，题目综合性比较强，难度适中．
计算题．
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