试题

题目：
青果学院如图所示，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠B=75°，∠ADC=135°，AB=AD=
2
，E为BC中点，则AE+DE长为
1+
3
1+
3
．
答案
1+
3

青果学院解：连接BD交AE于点F，
∵AB=AD=
2
，∠BAD=90°
∴BD=2，∠ADB=∠ABD=45°，AF=cot45°×AB=1
∵ADC=135°，∠ABC=75°
∴∠BDC=90°，∠CBD=30°
∵E为BC中点∴DE=
1
2
BC
在Rt△BCD中，BC=
BD
cos∠CBD
=
2
3
2
=
4
3
3
，CD=DE=
2
3
3

∵AE⊥BD，CD⊥BD∴EF∥CD
∴
EF
CD
=
BE
BC
∴EF=
1
2
CD=
3
3

∴AE+DE=AF+EF+DE=1+
3
3
+
2
3
3
=1+
3
．
考点梳理
勾股定理．
作辅助线，连接BD与AE交于点F，在Rt△ABD中，根据已知条件可将AF求出，由题意知：△BCD为直角三角形，在此三角形中，可将DE和EF的长求出，进而可将AE+DE长求出．
本题主要考查直角三角形的性质及求解方法．
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