试题

题目：
在边长为1cm的正△ABC中，P0为BC边上一点，作P0P1⊥CA于点 P1，作P1P2⊥AB于点P2，作P2P3⊥BC于点P3．如果点P3恰与点P0重合，则△P1P2P3的面积是
3
12
3
12
cm2．
答案
3
12

青果学院解：
过A作AD⊥BC于D，
∵等边三角形ABC，
∴BD=DC=
1
2
，
由勾股定理得：AD=
3
2
，
∴△ABC的面积是
1
2
×BC×AD=
1
2
×1×
3
2
=
3
4
，
∵等边三角形ABC，
∴∠C=60°，
∵P3P1⊥AC，
∴∠CP3P1=30°，
∴CP3=2CP1，
设CP1=a，AP2=b，BP3=c，
∴CP3=2a，
同理AP1=2b，BP2=2c，
∴
a+2b=1
b+2c=1
c+2z=1
，
解得：a=b=c，
即3a=1，
∴a=b=c=
1
3
，
2a=2b=2c=
2
3
，
由勾股定理得：P3P1=P1P2=P2P3=
3
3
，
∴△P1P2P3的面积是S△ABC-S△CP3P1-S△A P1P2 -S△BP2P3=
3
4
-3×
1
2
×
1
3
×
3
3
=
3
12
，
故答案为：
3
12
．
考点梳理
面积及等积变换；三角形的面积；三角形内角和定理；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．
过A作AD⊥BC于D，根据等边三角形的性质和勾股定理求出BD、AD，计算三角形的面积，求出∠CP3P1=30°，推出CP3=2CP1，设CP1=a，AP2=b，BP3=c，推出CP3=2a，AP1=2b，BP2=2c，得到方程组
a+2b=1
b+2c=1
c+2z=1
，求出a=b=c，即可求出a、b、c，根据三角形的面积公式求出即可．
本题主要考查对三角形的面积，三角形的内角和定理，勾股定理，面积与等积变形，等边三角形的面积，含30度角的直角三角形等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
计算题．
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