试题

题目：
青果学院如图，在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=
6
，中线AN与中线BM垂直．则BM=
3
3
．
答案
3

青果学院解：设AN与BM相交于点G，则G点为△ABC的重心．
设NG=x，则AG=2x，AN=3x，BN=3x．
在△BNG中，BG2=BN2-NG2，
在△ABG中，BG2=AB2-AG2，
所以，BN2-NG2=AB2-AG2，
即9x2-x2=6-4x2，
解得x=
2
2
．
所以BG2=AB2-AG2=6-4x2=4，
所以BG=2，GM=1，BM=3．
故答案为3．
考点梳理
勾股定理；三角形的重心．
设AN与BM相交于点G，则G点为△ABC的重心，设NG=x，根据重心的性质得到AG=2x，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得到BN=3x．然后在△BNG与△ABG中，由勾股定理得到BG2=BN2-NG2=AB2-AG2，求出x的值，从而得到BM的长度．
本题主要考查了三角形重心的定义及性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，难度中等，根据BG相等列出方程9x2-x2=6-4x2，是解题的关键．
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