试题

（2007·大连）两个全等的Rt△ABC和Rt△EDA如图放置，点B、A、D在同一条直线上．
操作：在图中，作∠ABC的平分线BF，过点D作DF⊥BF，垂足为F，连接CE．证明BF⊥CE．
探究：线段BF、CE的关系，并证明你的结论．
说明：如果你无法证明探究所得的结论，可以将“两个全等的Rt△ABC和Rt△EDA”改为“两个全等的等腰直角△ABC和等腰直角△EDA（点C、A、E在同一条直线上）”，其他条件不变，完成你的证明，此证明过程最多得2分．

证明：2BF=CE，且BF⊥CE．
过点E作EG⊥CB的延长线于点G．可得BDEG是矩形，即BD=EG，BG=DE，
设BC=AD=m，AB=DE=n．
∵BF是∠ABC的平分线，
∴∠DBF=45°，
又∵DF⊥BF，
∴∠FDB=45°，
∴△BFD是等腰直角三角形，
∴BF²+DF²=BD²，BF²+BF²=（AB+AD）²=（m+n）²，
∴BF=

2

2

（m+n）．
又∵△CGE也是直角三角形，
∴CE²=CG²+GE²
=（CB+BG）²+BD²
=（CB+DE）²+（AB+AD）²
=（m+n）²+（m+n）²
=2（m+n）²
∴CE=

2

（m+n）．
由此可得，2BF=CE；
∵∠GCE=∠CBF=45°，
∴CE⊥BF．
证明：2BF=CE，且BF⊥CE．
过点E作EG⊥CB的延长线于点G．可得BDEG是矩形，即BD=EG，BG=DE，
设BC=AD=m，AB=DE=n．
∵BF是∠ABC的平分线，
∴∠DBF=45°，
又∵DF⊥BF，
∴∠FDB=45°，
∴△BFD是等腰直角三角形，
∴BF²+DF²=BD²，BF²+BF²=（AB+AD）²=（m+n）²，
∴BF=

2

2

（m+n）．
又∵△CGE也是直角三角形，
∴CE²=CG²+GE²
=（CB+BG）²+BD²
=（CB+DE）²+（AB+AD）²
=（m+n）²+（m+n）²
=2（m+n）²
∴CE=

2

（m+n）．
由此可得，2BF=CE；
∵∠GCE=∠CBF=45°，
∴CE⊥BF．