试题

题目：
青果学院（2013·丰台区一模）如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，∠CBD=30°，∠BCD=45°，若AB=2
2
．求四边形ABCD的面积．
答案
青果学院解：如图，过点D作DE⊥BC于E，
∵AB=AD，∠BAD=90°，
∴AD=AB=2
2
，
BD=2
2
×
2
=4，
∵∠CBD=30°，
∴DE=
1
2
BD=
1
2
×4=2，
BE=
BD2-DE2
=
42-22
=2
3
，
∵∠BCD=45°，
∴CE=DE=2，
∴BC=BE+CE=2
3
+2，
∴四边形ABCD的面积=S△ABD+S△BCD=
1
2
×2
2
×2
2
+
1
2
×（2
3
+2）×2，
=4+2
3
+2，
=2
3
+6．
青果学院解：如图，过点D作DE⊥BC于E，
∵AB=AD，∠BAD=90°，
∴AD=AB=2
2
，
BD=2
2
×
2
=4，
∵∠CBD=30°，
∴DE=
1
2
BD=
1
2
×4=2，
BE=
BD2-DE2
=
42-22
=2
3
，
∵∠BCD=45°，
∴CE=DE=2，
∴BC=BE+CE=2
3
+2，
∴四边形ABCD的面积=S△ABD+S△BCD=
1
2
×2
2
×2
2
+
1
2
×（2
3
+2）×2，
=4+2
3
+2，
=2
3
+6．
考点梳理
勾股定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．
过点D作DE⊥BC于E，根据等腰直角三角形的性质求出AD、BD，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出DE，利用勾股定理列式求出BE，判断出△CDE是等腰直角三角形，然后求出CE的长，再根据三角形的面积公式列式进行计算即可得解．
本题考查了勾股定理，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线，把△BCD分成两个直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．
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