试题

（2009·江阴市一模）将一副直角三角板DEF按如图1摆放，使直角顶点D落在等腰Rt△ABC的斜边BC的中点上，DF，DE分别与AB，AC交于点M，N；
（1）如果把图1中的△DCN绕点D顺时方向旋转180°，得到图2，在不添加任何辅助线的情况下，图2中除△DCN≌△DBG外，你还能找到一对全等的三角形吗？写出你的结论并说明理由；
（2）将三角板DEF绕点D旋转，①当M，N分别在AB，AC上时，线段BM，CN，MN之间有一个确定的等量关系．请你写出这个关系式（不需证明）；
②如图3，当点M，N分别在BA，AC的延长线上时，①的关系式是否仍然成立？写出你的结论，并说明理由．

（1）解：答案不唯一，如△MGD≌△MND；
证明：∵△DCN绕点D顺时方向旋转180°得到△DBG，
∴△DCN≌△DBG，G、D、N三点共线，
∴DN=DG，
在△MGD和△MND中，
MD=MD，∠MDG=∠MDN=90°，DN=DG，
∴△MGD≌△MND（SAS）．

（2）解：①BM²+CN²=MN²；
②：①的关系式仍然成立；
将△DCN绕点D顺时方向旋转180°，连接GM，
∴△DCN≌△DBG，
∴∠DCN=∠DBG，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACD=45°，
∴∠DCN=∠DBG=135°，
∠ABG=∠DBG-∠ABC=90°，
同理可证△MGD≌△MND，
∴GM=MN，
在Rt△GBM中：BG²+BM²=GM²，
∴BM²+CN²=MN²．
（1）解：答案不唯一，如△MGD≌△MND；
证明：∵△DCN绕点D顺时方向旋转180°得到△DBG，
∴△DCN≌△DBG，G、D、N三点共线，
∴DN=DG，
在△MGD和△MND中，
MD=MD，∠MDG=∠MDN=90°，DN=DG，
∴△MGD≌△MND（SAS）．

（2）解：①BM²+CN²=MN²；
②：①的关系式仍然成立；
将△DCN绕点D顺时方向旋转180°，连接GM，
∴△DCN≌△DBG，
∴∠DCN=∠DBG，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACD=45°，
∴∠DCN=∠DBG=135°，
∠ABG=∠DBG-∠ABC=90°，
同理可证△MGD≌△MND，
∴GM=MN，
在Rt△GBM中：BG²+BM²=GM²，
∴BM²+CN²=MN²．