试题

题目：
青果学院（2010·东城区一模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=5，E为DC中点，tanC=
4
3
．求AE的长度．
答案
青果学院解：过点E作BC的垂线交BC于点F，交AD的延长线于点M，（1分）
在梯形ABCD中，AD∥BC，E是DC的中点，
∴∠M=∠MFC，DE=CE；
在△MDE和△FCE中，
∠M=∠MFC，
∠DEM=∠CEF，
DE=CE；
∴△MDE≌△FCE，
∴EF=ME，DM=CF．（3分）
∵AD=2，BC=5，∴DM=CF=
3
2
，
在Rt△FCE中，tanC=
4
3
=
EF
CF
，
∴EF=ME=2，（4分）
在Rt△AME中，AE=
22+(2+
3
2
)2=
65
2
．（5分）
青果学院解：过点E作BC的垂线交BC于点F，交AD的延长线于点M，（1分）
在梯形ABCD中，AD∥BC，E是DC的中点，
∴∠M=∠MFC，DE=CE；
在△MDE和△FCE中，
∠M=∠MFC，
∠DEM=∠CEF，
DE=CE；
∴△MDE≌△FCE，
∴EF=ME，DM=CF．（3分）
∵AD=2，BC=5，∴DM=CF=
3
2
，
在Rt△FCE中，tanC=
4
3
=
EF
CF
，
∴EF=ME=2，（4分）
在Rt△AME中，AE=
22+(2+
3
2
)2=
65
2
．（5分）
考点梳理
直角梯形；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
过E作BC的垂线，交BC于F，交AD延长线于M，首先证明△MDE≌△FCE，可知EF=ME，DM=CF，可求得DM的长；再通过解直角三角形可求得MF的长；最后利用勾股定理求得AE的长．
本是涉及到直角三角形和性质、全等三角形的判定及勾股定理的运用等知识点，是一道考查学生综合能力的好题，本题的解题关键是作好辅助线．
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