试题

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得△AFB，连接EF，下列结论：①△AED≌△AEF；②△ABC的面积等于四边形AFBD的面积；③BE+DC=DE；④BE²+DC²=DE²；⑤∠ADC=22.5°，其中正确的是（　　）
A．①③④
B．③④⑤
C．①②④
D．①②⑤

C
解：①根据旋转的性质知∠CAD=∠BAF，AD=AF，
∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，
∴∠CAD+∠BAE=45°．
∴∠EAF=45°，
∴△AEF≌△AED；
故①正确；

②∵根据旋转的性质，∴△ADC≌△ABF，
∴△ABC的面积等于四边形AFBD的面积；
故此选项正确；

③根据①知道△ADE≌△AFE，得CD=BF，DE=EF，
∴BE+DC=BE+BF＞DE=EF，
 故③错误；

④∵AB=AC，△ADC旋转90°至△AFB，
∴∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，
根据旋转的性质可得△ADC≌△ABF，∠ABF=∠ACD=45°，
∴∠FBE=45°+45°=90°，
∴BE²+BF²=EF²，
∵△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，
∴△AFB≌△ADC，
∴BF=CD，
又∵EF=DE，
∴BE²+CD²=DE²，故④正确．

⑤∵可以利用①②④正确，利用答案中没有更多正确答案，得出⑤错误．
故正确的有：①②④．
故选C．