试题

如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠ACB=75°，点I是两条角平分线的交点．
（1）求∠BIC的度数；
（2）若点D是两条外角平分线的交点，求∠BDC的度数；
（3）若点E是内角∠ABC、外角∠ACG的平分线交点，试探索∠BEC与∠BAC的数量关系，并说明理由．

解：（1）在△ABC中，
∵∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°，∠BAC=40°，∠ACB=75°，
∴∠ABC=180°-40°-75°=65°．
∵BI是∠ABC的平分线，
∴∠CBI=

1

2

∠ABC=

1

2

×65°=32.5°．
∵CI是∠ABC的平分线，
∴∠BCI=

1

2

∠ACB=

1

2

×75°=37.5°．
在△BCI
∠CBI+∠BCI+∠BIC=180°，
∴∠BIC=180°-32.5°-37.5°=110°．

（2）∵∠MBC是△ABC的外角，
∴∠MBC=∠A+∠ACB．
∵∠NCB是△ABC的外角，
∴∠NCB=∠A+∠ABC．
∴∠MBC+∠NCB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A=180°+40°=220°．
∵BD是∠MBC的平分线，
∴∠CBD=

1

2

∠MBC．
∵CD是∠NCB的平分线，
∴∠BCD=

1

2

∠NCB．
∴∠CBD+∠BCD=

1

2

（∠MBC+∠NCB）=

1

2

×220°=110°．
在△BCD中
∠BDC+∠CBD+∠BCD=180°，
∴∠BDC=180°-110°=70°．

（3）∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠CBE=

1

2

∠ABC．
∵∠ACG是△ABC的外角，
∴∠ACG=∠BAC+∠ABC．
∵CE是∠ACG的平分线，
∴∠ECG=

1

2

（∠BAC+∠ABC）=

1

2

∠BAC+

1

2

∠ABC．
∵∠ECG是△BCE的外角，
∴∠ECG=∠CBE+∠BEC．
∴

1

2

∠BAC+

1

2

∠ABC=

1

2

∠ABC+∠BEC．
∴∠BAC=2∠BEC．
解：（1）在△ABC中，
∵∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°，∠BAC=40°，∠ACB=75°，
∴∠ABC=180°-40°-75°=65°．
∵BI是∠ABC的平分线，
∴∠CBI=

1

2

∠ABC=

1

2

×65°=32.5°．
∵CI是∠ABC的平分线，
∴∠BCI=

1

2

∠ACB=

1

2

×75°=37.5°．
在△BCI
∠CBI+∠BCI+∠BIC=180°，
∴∠BIC=180°-32.5°-37.5°=110°．

（2）∵∠MBC是△ABC的外角，
∴∠MBC=∠A+∠ACB．
∵∠NCB是△ABC的外角，
∴∠NCB=∠A+∠ABC．
∴∠MBC+∠NCB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A=180°+40°=220°．
∵BD是∠MBC的平分线，
∴∠CBD=

1

2

∠MBC．
∵CD是∠NCB的平分线，
∴∠BCD=

1

2

∠NCB．
∴∠CBD+∠BCD=

1

2

（∠MBC+∠NCB）=

1

2

×220°=110°．
在△BCD中
∠BDC+∠CBD+∠BCD=180°，
∴∠BDC=180°-110°=70°．

（3）∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠CBE=

1

2

∠ABC．
∵∠ACG是△ABC的外角，
∴∠ACG=∠BAC+∠ABC．
∵CE是∠ACG的平分线，
∴∠ECG=

1

2

（∠BAC+∠ABC）=

1

2

∠BAC+

1

2

∠ABC．
∵∠ECG是△BCE的外角，
∴∠ECG=∠CBE+∠BEC．
∴

1

2

∠BAC+

1

2

∠ABC=

1

2

∠ABC+∠BEC．
∴∠BAC=2∠BEC．