试题

如图，在△ABC中，∠C＞∠B，AH⊥CB于H，AD平分∠CAB．
（1）如果∠B=30°，∠C=70°，求∠CAD的度数．
（2）如果∠B=40°，∠HAD=20°，求∠C度数．
（3）求证：∠HAD=

1

2

（∠C-∠B）

解：（1）∵∠B=30°，∠C=70°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-70°=80°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=

1

2

∠BAC=

1

2

∠BAC=

1

2

×80°=40°；

（2）∵∠B=40°，AH⊥CB，
∴∠BAH=90°-∠B=90°-40°=50°，
∵∠HAD=20°，
∴∠BAD=∠BAH-∠HAD=50°-20°=30°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠BAC=2∠BAD=2×30°=60°，
在△ABC中，∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-40°-60°=80°；

（3）∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=

1

2

∠BAC=

1

2

（180°-∠B-∠C）=90°-

1

2

（∠B+∠C），
∵AH⊥CB，
∴∠CAH=90°-∠C，
∴∠HAD=∠CAD-∠CAH=90°-

1

2

（∠B+∠C）-（90°-∠C），
=

1

2

（∠C-∠B），
即：∠HAD=

1

2

（∠C-∠B）．
解：（1）∵∠B=30°，∠C=70°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-70°=80°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=

1

2

∠BAC=

1

2

∠BAC=

1

2

×80°=40°；

（2）∵∠B=40°，AH⊥CB，
∴∠BAH=90°-∠B=90°-40°=50°，
∵∠HAD=20°，
∴∠BAD=∠BAH-∠HAD=50°-20°=30°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠BAC=2∠BAD=2×30°=60°，
在△ABC中，∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-40°-60°=80°；

（3）∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=

1

2

∠BAC=

1

2

（180°-∠B-∠C）=90°-

1

2

（∠B+∠C），
∵AH⊥CB，
∴∠CAH=90°-∠C，
∴∠HAD=∠CAD-∠CAH=90°-

1

2

（∠B+∠C）-（90°-∠C），
=

1

2

（∠C-∠B），
即：∠HAD=

1

2

（∠C-∠B）．