试题

题目：
青果学院如图，正三角形ABC的边长为a，D是BC的中点，P是AC边上的点，连接PB和PD得到△PBD．求：
（1）当点P运动到AC的中点时，△PBD的周长；
（2）△PBD的周长的最小值．
答案
解：（1）BP=
3
2
a，DP=
1
2
a，BD=
1
2
a，
即△PBD的周长为BP+DP+BD=(
3
2
+1)a．
青果学院
（2）如图2，作点B关于AC的对称点E，连接EP、EB、ED、EC，则PB+PD=PE+PD，因此ED的长就是PB+PD的最小值，即当点P运动到ED与AC的交点G时，△PBD的周长最小．
从点D作DF⊥BE，垂足为F，因为BC=a，所以BD=
1
2
a，BE=2
a2-(
1
2
a)2
=
3
a．
因为∠DBF=30°，所以DF=
1
2
BD=
1
4
a，BF=
BD2-DF2
=
3
4
a，EF=BE-BF=
3
3
4
a，DE=
DF2+EF2
=
7
2
a．
所以△PBD的周长的最小值是
1
2
a+
7
2
a=
1+
7
2
a．
解：（1）BP=
3
2
a，DP=
1
2
a，BD=
1
2
a，
即△PBD的周长为BP+DP+BD=(
3
2
+1)a．
青果学院
（2）如图2，作点B关于AC的对称点E，连接EP、EB、ED、EC，则PB+PD=PE+PD，因此ED的长就是PB+PD的最小值，即当点P运动到ED与AC的交点G时，△PBD的周长最小．
从点D作DF⊥BE，垂足为F，因为BC=a，所以BD=
1
2
a，BE=2
a2-(
1
2
a)2
=
3
a．
因为∠DBF=30°，所以DF=
1
2
BD=
1
4
a，BF=
BD2-DF2
=
3
4
a，EF=BE-BF=
3
3
4
a，DE=
DF2+EF2
=
7
2
a．
所以△PBD的周长的最小值是
1
2
a+
7
2
a=
1+
7
2
a．
考点梳理
勾股定理；直角三角形斜边上的中线；轴对称-最短路线问题．
（1）当P为AC的中点时，BP⊥AC，BP=
3
2
a，DP为中位线，DP=
1
2
a，BD=
1
2
a，即可求△PBD的周长；
（2）作点B关于AC的对称点E，连接EP、EB、ED、EC，则PB+PD=PE+PD，因此ED的长就是PB+PD的最小值，即当点P运动到ED与AC的交点G时，△PBD的周长最小．
本题考查了勾股定理的灵活运用，解本题的关键是作出恰当的图形，并且根据勾股定理求各边长．
计算题．
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