试题

题目：
已知：Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）如图（1）以Rt△ABC的三边为直径的三个半圆面积分别表示为S1、S2、S3，则：S1、S2、S3之间有什么关系？证明你的结论．
（2）如图（2），将图（1）的面积为S3的半圆沿斜边AB所在的直线翻折，翻折后的半圆恰好经过直角顶点C，若AB=5，AC=4，请你利用（1）中的结论求出图（2）中阴影部分的面积．
青果学院
答案
解：（1）S1=
1
2
π（
BC
2
）2=
π·BC2
8
，
同理，S2=
π·AC2
8
，S3=
πAB2
8
，
∵BC2+AC2=AB2，
∴S1+S2=S3；

（2）S阴影=S1+S2+S△ABC-S3=S△ABC，
在直角△ABC中，BC=
AB2-AC2
=3，
则S阴影=S△ABC=
1
2
AC·BC=
1
2
×4×3=6．
解：（1）S1=
1
2
π（
BC
2
）2=
π·BC2
8
，
同理，S2=
π·AC2
8
，S3=
πAB2
8
，
∵BC2+AC2=AB2，
∴S1+S2=S3；

（2）S阴影=S1+S2+S△ABC-S3=S△ABC，
在直角△ABC中，BC=
AB2-AC2
=3，
则S阴影=S△ABC=
1
2
AC·BC=
1
2
×4×3=6．
考点梳理
勾股定理．
（1）利用圆的面积公式表示出S1、S2、S3，然后根据勾股定理即可解答；
（2）利用（1）的结果，以及S阴影=S1+S2+S△ABC-S3即可解答．
本题考查了勾股定理，以及圆的面积公式，正确证明S1+S2=S3是关键．
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