试题

如图，在△ABC和△DBC中，已知∠ACB=∠DBC=90°，点E为BC的中点，DE⊥AB，垂足为F，且AB=DE．
（1）求证：△DBC是等腰Rt△；
（2）若BD=8cm，求AC的长；
（3）在（2）的条件下求BF的长．

（1）证明：∵DE⊥AB，
∴∠4=90°=∠ACB=∠EBD，
∴∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
在△ACB和△EBD中，
∵

∠1=∠3 ∠ACB=∠EBD AB=DE

，
∴△ACB≌△EBD（AAS），
∴BC=BD，
∵∠EBD=90°，
∴△CBD是等腰直角三角形；

（2）解：∵BC=BD=8cm，△ACB≌△EBD，
∴AC=BE，
∵E为BC中点，
∴BE=

1

2

BC=4cm，
∴AC=BE=4cm；

（3）解：在Rt△EBD中，BD=8cm，BE=4cm，由勾股定理得：DE=4

5

cm，
在△EBD中，S_△EBD=

1

2

×BE×BD=

1

2

×DE×BF，
∴BE×BD=DE×BF，
∴4cm×8cm=4

5

cm×BF，
∴BF=

8 5

5

cm．
（1）证明：∵DE⊥AB，
∴∠4=90°=∠ACB=∠EBD，
∴∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
在△ACB和△EBD中，
∵

∠1=∠3 ∠ACB=∠EBD AB=DE

，
∴△ACB≌△EBD（AAS），
∴BC=BD，
∵∠EBD=90°，
∴△CBD是等腰直角三角形；

（2）解：∵BC=BD=8cm，△ACB≌△EBD，
∴AC=BE，
∵E为BC中点，
∴BE=

1

2

BC=4cm，
∴AC=BE=4cm；

（3）解：在Rt△EBD中，BD=8cm，BE=4cm，由勾股定理得：DE=4

5

cm，
在△EBD中，S_△EBD=

1

2

×BE×BD=

1

2

×DE×BF，
∴BE×BD=DE×BF，
∴4cm×8cm=4

5

cm×BF，
∴BF=

8 5

5

cm．