试题

题目：
在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，∠C=90°，CD和BE是△ABC的两条中线，且CD⊥BE，那么a：b：c=（　　）



答案
D
青果学院解：可以用建立直角坐标系来做．以三角形BC所在的边为x轴，以AC所在的边为y轴，C点为原点建立直角坐标系．
可得，C（0，0），B（a，0），A（0，b）．
∵CD和BE为中线，
∴D，E为中点，则D（
a
2
，
b
2
），E（0，
b
2
）．
则直线BE的斜率是：
-
b
2
a
=-
b
2a
；
直线CD的斜率是：
b
2
a
2
=
b
a
．
∵CD与BE垂直，所以CD与BE所在直线的斜率的乘积为-1，即-
b
2a
·
b
a
=-1．
∴b2=2a2．
∴a：b=1：
2
．
又∵a2+b2=c2．
∴a：b：c=1：
2
：
3
．
故选D．
考点梳理
勾股定理；三角形的重心．
可以用建立直角坐标系来做．以三角形BC所在的边为x轴，以AC所在的边为y轴，C点为原点建立直角坐标系．可得，C（0，0），B（a，0），A（0，b）因为，CD和BE为中线，所以D，E为中点，易得，D（
a
2
，
b
2
），E（0，
b
2
）．因为CD与BE垂直，所以CD与BE所在直线的斜率的乘积为负1，所以可得答案．
本题考查了两条直线垂直的条件，关键是正确建立坐标系，把三角形的问题转化为一次函数的问题．
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