试题

题目：
（1）已知：如图1，在四边形ABCD中，BC⊥CD，∠ACD=∠ADC．求证：AB+AC＞
BC2+CD2
；
（2）已知：如图2，在△ABC中，AB上的高为CD，试判断（AC+BC）2与AB2+4CD2之间的大小关系，并证明你的结论．
青果学院
答案
青果学院解：（1）连接BD，
∵∠ACD=∠ADC，
∴AC=AD，
∵AB+AD＞BD，
∵BC⊥CD，
∴∠BCD=90°，
∴BD=
BC2+CD2
，
∴AB+AC＞
BC2+CD2
；

（2）大小关系是（AC+BC）2＜AB2+4CD2，理由为：
如图，作EB⊥AB，EB=2CD，
∵AB+AC＞
BC2+CD2
（1）的结论；
两边平方得（AC+AB）2＞BC2+CD2，
∴（AC+BC）2＜AB2+4CD2．
青果学院解：（1）连接BD，
∵∠ACD=∠ADC，
∴AC=AD，
∵AB+AD＞BD，
∵BC⊥CD，
∴∠BCD=90°，
∴BD=
BC2+CD2
，
∴AB+AC＞
BC2+CD2
；

（2）大小关系是（AC+BC）2＜AB2+4CD2，理由为：
如图，作EB⊥AB，EB=2CD，
∵AB+AC＞
BC2+CD2
（1）的结论；
两边平方得（AC+AB）2＞BC2+CD2，
∴（AC+BC）2＜AB2+4CD2．
考点梳理
勾股定理；三角形三边关系．
（1）连接BD，利用三角形三边关系可得AB+AD＞BD，再利用勾股定理和等量代换即可证明．
（2）如图，作EB⊥AB，EB=2CD，利用（1）的结论即可证明．
此题主要考查三角形三边关系和勾股定理等知识点，难易程度适中，是一道典型的题目．
证明题．
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