试题

如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，CD=

1

2

AB，4BC²=5AD²，
（1）求证：AD=AB．
（2）AC、BD交于点E，AO⊥BD交BD于O，交BC于F，求证：CE=CF．
（3）作点F交于点O的对称点H，试判断BH与AE的关系，并证明你的结论．

解：（1）过点C作CM⊥AB于M，
∵AB∥CD，∠DAB=90°，∴四边形AMCD是矩形，
∴AM=CD，
∵CD=

1

2

AB，
∴AM=BM，
∴AC=BC，
∵在Rt△ACD中，∠ADC=90°，
∴AD²+CD²=AC²=BC²，
∵4BC²=5AD²，
∴CD²=

1

4

AD²，
即CD=

1

2

AD，
∴AD=AB，

（2）由（1）知：∠ADB=∠ABD=45°，
又∵AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA，
∴∠CAF=∠CBE，
∴在△ACF和△BCE中，

∠ACF=∠BCE AC=BC ∠CAF=∠CBE

，
∴△ACF≌△BCE（ASA），
∴CE=CF；

（3）延长BH交AE于N，
由（2）可得：AE=BF，
∵F，H关于点O对称，
∴BH=BF，∠OBF=∠OBH，
∴BH=AE，
∵∠CAF=∠CBE，
∴∠OBH=∠CAF，
∴∠ANH=∠BOH=90°，即BH⊥AE．
解：（1）过点C作CM⊥AB于M，
∵AB∥CD，∠DAB=90°，∴四边形AMCD是矩形，
∴AM=CD，
∵CD=

1

2

AB，
∴AM=BM，
∴AC=BC，
∵在Rt△ACD中，∠ADC=90°，
∴AD²+CD²=AC²=BC²，
∵4BC²=5AD²，
∴CD²=

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AD²，
即CD=

1

2

AD，
∴AD=AB，

（2）由（1）知：∠ADB=∠ABD=45°，
又∵AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA，
∴∠CAF=∠CBE，
∴在△ACF和△BCE中，

∠ACF=∠BCE AC=BC ∠CAF=∠CBE

，
∴△ACF≌△BCE（ASA），
∴CE=CF；

（3）延长BH交AE于N，
由（2）可得：AE=BF，
∵F，H关于点O对称，
∴BH=BF，∠OBF=∠OBH，
∴BH=AE，
∵∠CAF=∠CBE，
∴∠OBH=∠CAF，
∴∠ANH=∠BOH=90°，即BH⊥AE．