试题

我们把由“四舍五入”法对非负有理数x精确到个位的值记为＜x＞．如：＜0＞=＜0.48＞=0，＜0.64＞=＜1.493＞=1，＜2＞=2，＜2.5＞=＜3.12＞=3，…
解决下列问题：
（1）填空：①若＜x＞=6，则x的取值范围是；
②若＜x＞=

4

3

x，则x的值是；
（2）若m为正整数，试说明：＜x+m＞=＜x＞+m恒成立．

解：（1）①5.5≤x＜6.5
②0，

3

4

，

3

2

（2）说明：设x=n+a，其中n为x的整数部分（n为非负整数），a为x的小数部分 （0≤a＜1）
分两种情况：
（Ⅰ）当0≤a＜

1

2

时，有＜x＞=n
∵x+m=（n+m）+a，
这时（n+m）为（x+m）的整数部分，a为（x+m）的小数部分，
∴＜x+m＞=n+m
又＜x＞+m=n+m
∴＜x+m＞=＜x＞+m．
（Ⅱ）当

1

2

≤a＜1时，有＜x＞=n+1
∵x+m=（n+m）+a
这时（n+m）为（x+m）的整数部分，a为（x+m）的小数部分，
∴＜x+m＞=n+m+1
又＜x＞+m=n+1+m=n+m+1
∴＜x+m＞=＜x＞+m．
综上所述：＜x+m＞=＜x＞+m．