试题

如图，已知平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点分别在x轴、y轴上，其中C，D两点的坐标分别为（4，0），（0，-3）．两动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒1个单位的速度沿线段AB向终点B运动，点Q以每秒2个单位的速度沿折线CDA向终点A运动，设运动时间为x秒．
（1）求菱形ABCD的高h和面积s的值；
（2）当Q在CD边上运动，x为何值时直线PQ将菱形ABCD的面积分成1：2两部分；
（3）设四边形APCQ的面积为y，求y关于x的函数关系式（要写出x的取值范围）；在P、Q运动的整个过程中是否存在y的最大值？若存在，求出这个最大值，并指出此时P、Q的位置；若不存在，请说明理由．

解：（1）如图1，过B点作BH⊥CD，垂足为H，
∵四边形ABCD为菱形，
∴OB=OD=3，OA=OC=4，
在Rt△COD中，CD=

OC2+OD2

=5，
∴S_菱形ABCD=4S_△COD=4×

1

2

×4×3=24，
又∵S_菱形ABCD=CD×BH，即5h=24，解得h=

24

5

；

（2）依题意，得AP=x，DQ=5-2x，则S_梯形APQD=

1

2

（x+5-2x）×

24

5

=

12

5

（5-x），
当S_梯形APQD=

1

3

S_菱形ABCD时，

12

5

（5-x）=8，解得x=

5

3

，
当S_梯形APQD=

2

3

S_菱形ABCD时，

12

5

（5-x）=16，解得x=-

5

3

（舍去）；

（3）存在．
当点Q在CD上时，如图2，依题意，得AP=x，CQ=2x，
∴y=

1

2

（x+2x）×

24

5

=

36

5

x（0≤x≤

5

2

），
当x=

5

2

时，y有最大值，最大值为

36

5

×

5

2

=18，⊙
此时P点在线段AB的中点，Q点与D点重合；
当点Q在AD上时，如图3，
y=

1

2

（x+10-2x）×

24

5

=24-

12

5

x（

5

2

＜x＜5），
y无最大值．
解：（1）如图1，过B点作BH⊥CD，垂足为H，
∵四边形ABCD为菱形，
∴OB=OD=3，OA=OC=4，
在Rt△COD中，CD=

OC2+OD2

=5，
∴S_菱形ABCD=4S_△COD=4×

1

2

×4×3=24，
又∵S_菱形ABCD=CD×BH，即5h=24，解得h=

24

5

；

（2）依题意，得AP=x，DQ=5-2x，则S_梯形APQD=

1

2

（x+5-2x）×

24

5

=

12

5

（5-x），
当S_梯形APQD=

1

3

S_菱形ABCD时，

12

5

（5-x）=8，解得x=

5

3

，
当S_梯形APQD=

2

3

S_菱形ABCD时，

12

5

（5-x）=16，解得x=-

5

3

（舍去）；

（3）存在．
当点Q在CD上时，如图2，依题意，得AP=x，CQ=2x，
∴y=

1

2

（x+2x）×

24

5

=

36

5

x（0≤x≤

5

2

），
当x=

5

2

时，y有最大值，最大值为

36

5

×

5

2

=18，⊙
此时P点在线段AB的中点，Q点与D点重合；
当点Q在AD上时，如图3，
y=

1

2

（x+10-2x）×

24

5

=24-

12

5

x（

5

2

＜x＜5），
y无最大值．