试题

如图，一次函数y=-2x+2的图象与与坐标轴相交于A、B两点，点P（x，y）是线段AB（不含端点）上一动点，设△AOP的面积为S．
（1）求点B的坐标；
（2）求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当S=

1

2

时，试问在x轴上是否存在一点Q，使得PQ+BQ最小？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

解：（1）当x=0时，y=-2×0+2=2，
即B（0，2）；

（2）当y=0时，0=-2x+2，
解得x=1，
∴A（1，0），即OA=1，
∴S_△AOP=

1

2

×OA×yP=

1

2

×1×(-2x+2)=-x+1，
即S=-x+1，其中0＜x＜1；

（3）∵S=

1

2

，
∴

1

2

=-x+1，
解得x=

1

2

，
把x=

1

2

代入y=-2x+2，可得y=1，
即P（

1

2

，1），
设B关于x轴的对称点为B′，连接PB′，交x轴于Q，Q点即为所求，如图．
∵B′（0，-2），设经过PB′的直线解析式为y=kx+b，于是

1= 1 2 k+b -2=k·0+b

，
解得k=6，b=-2，
∴PB′的解析式为y=6x-2，
令y=0时，解得x=

1

3

，
即Q（

1

3

，0）．
解：（1）当x=0时，y=-2×0+2=2，
即B（0，2）；

（2）当y=0时，0=-2x+2，
解得x=1，
∴A（1，0），即OA=1，
∴S_△AOP=

1

2

×OA×yP=

1

2

×1×(-2x+2)=-x+1，
即S=-x+1，其中0＜x＜1；

（3）∵S=

1

2

，
∴

1

2

=-x+1，
解得x=

1

2

，
把x=

1

2

代入y=-2x+2，可得y=1，
即P（

1

2

，1），
设B关于x轴的对称点为B′，连接PB′，交x轴于Q，Q点即为所求，如图．
∵B′（0，-2），设经过PB′的直线解析式为y=kx+b，于是

1= 1 2 k+b -2=k·0+b

，
解得k=6，b=-2，
∴PB′的解析式为y=6x-2，
令y=0时，解得x=

1

3

，
即Q（

1

3

，0）．