试题

如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为（-4，0），点B的坐标为（0，b）（b＞0）． P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为P'（点 P'不在y轴上），连接P P'，P'A，P'C．设点P的横坐标为a．
（1）当b=3时，求直线AB的解析式；
（2）在（1）的条件下，若点P'的坐标是（-1，m），求m的值；
（3）若点P在第一象限，是否存在a，使△P'CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+3，
把x=-4，y=0代入得：-4k+3=0，
∴k=

3

4

，
∴直线的解析式是：y=

3

4

x+3，
（2）由已知得点P′的坐标是（-1，m），点P（1，m），
∴m=

3

4

×1+3=

15

4

；

（3）当点P在第一象限时，
①若∠AP′C=90°，P′A=P′C（如图1）
过点P′作P′H⊥x轴于点H．
∴PP′=CH=AH=P′H=

1

2

AC．
∴2a=

1

2

（a+4），
∴a=

4

3

，
②若∠P′AC=90°，P′A=AC，
则PP′=AC，
∴2a=a+4，
∴a=4，
③若∠P′CA=90°，
则点P′，P都在第一象限内，这与条件矛盾．
∴△P′CA不可能是以C为直角顶点的等腰直角三角形．
∴所有满足条件的a的值为a=4或

4

3

．
解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+3，
把x=-4，y=0代入得：-4k+3=0，
∴k=

3

4

，
∴直线的解析式是：y=

3

4

x+3，
（2）由已知得点P′的坐标是（-1，m），点P（1，m），
∴m=

3

4

×1+3=

15

4

；

（3）当点P在第一象限时，
①若∠AP′C=90°，P′A=P′C（如图1）
过点P′作P′H⊥x轴于点H．
∴PP′=CH=AH=P′H=

1

2

AC．
∴2a=

1

2

（a+4），
∴a=

4

3

，
②若∠P′AC=90°，P′A=AC，
则PP′=AC，
∴2a=a+4，
∴a=4，
③若∠P′CA=90°，
则点P′，P都在第一象限内，这与条件矛盾．
∴△P′CA不可能是以C为直角顶点的等腰直角三角形．
∴所有满足条件的a的值为a=4或

4

3

．