试题

在平面直角坐标系中，坐标原点为O，直线l₁：y=x+4与x轴交于点A，直线l₂：y=-x+2与y轴交于点B．直线y=-

1

2

x+b与l₁交于点M，与l₂交于点N（点N不与B重合）．设△OBM、△OAM的面积分别为S₁，S₂，
（1）当0≤b≤1时，求S₁关于b的函数关系式，并求出S₁的最大值；
（2）若点M的纵坐标大于

4

3

，且S₁＜S₂，求b的取值范围．

解：（1）由直线l₁：y=x+4与x轴相交，得点A（-4，0），
由直线l₂：y=-x+2与y轴相交，得点B（0，2），
联立

y=x+4 y=- 1 2 x+b

，
得

x= 2b-8 3 y= 2b+4 3

，即M（

2b-8

3

，

2b+4

3

），
∴S₁=

1

2

×2×（-

2b-8

3

）=

8-2b

3

，
当0≤b≤1时，S₁的最大值为

8

3

；

（2）由（1）可知，S₂=

1

2

×4×

2b+4

3

=

4b+8

3

，
∵点M的纵坐标大于

4

3

，且S₁＜S₂，
∴

2b+4 3 ＞ 4 3 8-2b 3 ＜ 4b+8 3

，
解得b＞0．

解：（1）由直线l₁：y=x+4与x轴相交，得点A（-4，0），
由直线l₂：y=-x+2与y轴相交，得点B（0，2），
联立

y=x+4 y=- 1 2 x+b

，
得

x= 2b-8 3 y= 2b+4 3

，即M（

2b-8

3

，

2b+4

3

），
∴S₁=

1

2

×2×（-

2b-8

3

）=

8-2b

3

，
当0≤b≤1时，S₁的最大值为

8

3

；

（2）由（1）可知，S₂=

1

2

×4×

2b+4

3

=

4b+8

3

，
∵点M的纵坐标大于

4

3

，且S₁＜S₂，
∴

2b+4 3 ＞ 4 3 8-2b 3 ＜ 4b+8 3

，
解得b＞0．