试题

（2013·宝应县模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-

4

3

x+8的图象与x轴，y轴交于A、B两点，OD=

1

4

OB，AC=

1

4

AB，过点C作CE⊥OA于点E，点M从点C出发，沿CD方向运动，过点M作MN⊥OA于点N，过点N作NP∥AB，交OB于点P，当点N与点O重合时点M停止运动．设AN=a．
（1）求点C的坐标；
（2）用含a的代数式表示NP；
（3）是否存在点M，使△MNP为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的a的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵一次函数y=-

4

3

x+8的图象与x轴，y轴交于A、B两点，
∴点A的坐标为：（6，0），点B的坐标为：（0，8），
∴OA=6，OB=8，
∴AB=

OA2+OB2

=10，
∴OD=

1

4

OB=2，AC=

1

4

AB=

5

2

，
∴OD：OB=AC：AB=1：4，
∴CD∥OA，
∵CE⊥OA，MN⊥OA，OA⊥OB，
∴四边形ODCE与四边形ODMN是矩形，
∴MN=CE=OD=2，DM=ON，
∴AE=

AC2-CE2

=

3

2

，
∴OE=OA-AE=6-

3

2

=

9

2

，
∴点C的坐标为：（

9

2

，2）；

（2）∵NP∥AB，
∴

ON

OA

=

NP

AB

，
∵AN=a，
∴ON=OA-AN=6-a，
∴

NP

10

=

6-a

6

，
解得：NP=

30-5a

3

；

（3）存在点M，能够使△MNP为等腰三角形，理由如下：
过点D作DQ∥AB交OA于Q，则

OQ

OA

=

OD

OB

，即

OQ

6

=

2

8

，
解得OQ=1.5，
∴AQ=OA-OQ=6-1.5=4.5．
∴当a=4.5时，点P与点D重合，此时△MNP不是等腰三角形．
分两种情况讨论：
①当0≤a＜4.5，即点P在点D上方时，如右图．
∵NP∥AB，
∴

ON

OA

=

OP

OB

，
∴

OP

8

=

6-a

6

，
解得：OP=

24-4a

3

，
∴PD=OP-OD=

18-4a

3

，
∴PM²=PD²+DM²=（

18-4a

3

）²+（6-a）²=

25a2-252a+648

9

．
由于PN＞MN，所以当△MNP为等腰三角形时，可能有两种情况：
当PM=MN时，

25a2-252a+648

9

=4，解得a₁=4.08，a₂=6（不合题意，舍去）；
当PM=PN时，

25a2-252a+648

9

=（

30-5a

3

）²，解得a=5.25（不合题意，舍去）；
②当4.5＜a＜6，即点P在点D下方时，如右图．
∵NP∥AB，
∴

ON

OA

=

OP

OB

，
∴

OP

8

=

6-a

6

，
解得：OP=

24-4a

3

，
∴PD=OD-OP=

4a-18

3

，
∴PM²=PD²+DM²=（

4a-18

3

）²+（6-a）²=

25a2-252a+648

9

．
当△MNP为等腰三角形时，可能有三种情况：
当PM=MN时，

25a2-252a+648

9

=4，解得a₁=4.08，a₂=6（均不合题意，舍去）；
当PM=PN时，

25a2-252a+648

9

=（

30-5a

3

）²，解得a=5.25；
当PN=MN时，

30-5a

3

=2，解得a=4.8．
综上可知，存在点M，能够使△MNP为等腰三角形，此时满足要求的a的值为4.08或4.8或5.25．
解：（1）∵一次函数y=-

4

3

x+8的图象与x轴，y轴交于A、B两点，
∴点A的坐标为：（6，0），点B的坐标为：（0，8），
∴OA=6，OB=8，
∴AB=

OA2+OB2

=10，
∴OD=

1

4

OB=2，AC=

1

4

AB=

5

2

，
∴OD：OB=AC：AB=1：4，
∴CD∥OA，
∵CE⊥OA，MN⊥OA，OA⊥OB，
∴四边形ODCE与四边形ODMN是矩形，
∴MN=CE=OD=2，DM=ON，
∴AE=

AC2-CE2

=

3

2

，
∴OE=OA-AE=6-

3

2

=

9

2

，
∴点C的坐标为：（

9

2

，2）；

（2）∵NP∥AB，
∴

ON

OA

=

NP

AB

，
∵AN=a，
∴ON=OA-AN=6-a，
∴

NP

10

=

6-a

6

，
解得：NP=

30-5a

3

；

（3）存在点M，能够使△MNP为等腰三角形，理由如下：
过点D作DQ∥AB交OA于Q，则

OQ

OA

=

OD

OB

，即

OQ

6

=

2

8

，
解得OQ=1.5，
∴AQ=OA-OQ=6-1.5=4.5．
∴当a=4.5时，点P与点D重合，此时△MNP不是等腰三角形．
分两种情况讨论：
①当0≤a＜4.5，即点P在点D上方时，如右图．
∵NP∥AB，
∴

ON

OA

=

OP

OB

，
∴

OP

8

=

6-a

6

，
解得：OP=

24-4a

3

，
∴PD=OP-OD=

18-4a

3

，
∴PM²=PD²+DM²=（

18-4a

3

）²+（6-a）²=

25a2-252a+648

9

．
由于PN＞MN，所以当△MNP为等腰三角形时，可能有两种情况：
当PM=MN时，

25a2-252a+648

9

=4，解得a₁=4.08，a₂=6（不合题意，舍去）；
当PM=PN时，

25a2-252a+648

9

=（

30-5a

3

）²，解得a=5.25（不合题意，舍去）；
②当4.5＜a＜6，即点P在点D下方时，如右图．
∵NP∥AB，
∴

ON

OA

=

OP

OB

，
∴

OP

8

=

6-a

6

，
解得：OP=

24-4a

3

，
∴PD=OD-OP=

4a-18

3

，
∴PM²=PD²+DM²=（

4a-18

3

）²+（6-a）²=

25a2-252a+648

9

．
当△MNP为等腰三角形时，可能有三种情况：
当PM=MN时，

25a2-252a+648

9

=4，解得a₁=4.08，a₂=6（均不合题意，舍去）；
当PM=PN时，

25a2-252a+648

9

=（

30-5a

3

）²，解得a=5.25；
当PN=MN时，

30-5a

3

=2，解得a=4.8．
综上可知，存在点M，能够使△MNP为等腰三角形，此时满足要求的a的值为4.08或4.8或5.25．