试题

（2010·黄浦区二模）已知点P是函数y=

1

2

x（x＞0）图象上一点，PA⊥x轴于点A，交函数y=

1

x

（x＞0）图象于点M，PB⊥y轴于点B，交函数y=

1

x

（x＞0）图象于点N．（点M、N不重合）
（1）当点P的横坐标为2时，求△PMN的面积；
（2）证明：MN∥AB；
（3）试问：△OMN能否为直角三角形？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．

解：（1）∵点P是函数y=

1

2

x（x＞0）图象上一个点，当点P的横坐标为2，
∴点P为（2，1），（1分）
由题意可得：M为（2，

1

2

），N为（1，1）（2分）
∴S△PMN=

1

2

×1×

1

2

=

1

4

；（1分）

（2）令点P为（2a，a），（a＞0）（1分）
则A(2a，0)，B(0，a)，M(2a，

1

2a

)，N(

1

a

，a)，
∴

PA

PB

=

a

2a

=

1

2

，

PM

PN

=

a- 1 2a

2a- 1 a

=

1

2

，（1分）
即

PA

PB

=

PM

PN

（1分）
∴MN∥AB；（1分）

（3）由（2）得，ON2=a2+

1

a2

，OM2=4a2+

1

4a2

，
易知∠MON≠90°，
∴当∠ONM=90°时，
有4a2+

1

4a2

=a2+

1

a2

+5a2-5+

5

4a2

，
解得a1=

2

，a2=

2

2

（舍去），即点P为(2

2

，

2

)，（2分）
同理当∠OMN=90°时，点P为(

2

2

，

2

4

)．（2分）
综上所述，当点P为(2

2

，

2

)与(

2

2

，

2

4

)时，能使△OMN为直角三角形．
解：（1）∵点P是函数y=

1

2

x（x＞0）图象上一个点，当点P的横坐标为2，
∴点P为（2，1），（1分）
由题意可得：M为（2，

1

2

），N为（1，1）（2分）
∴S△PMN=

1

2

×1×

1

2

=

1

4

；（1分）

（2）令点P为（2a，a），（a＞0）（1分）
则A(2a，0)，B(0，a)，M(2a，

1

2a

)，N(

1

a

，a)，
∴

PA

PB

=

a

2a

=

1

2

，

PM

PN

=

a- 1 2a

2a- 1 a

=

1

2

，（1分）
即

PA

PB

=

PM

PN

（1分）
∴MN∥AB；（1分）

（3）由（2）得，ON2=a2+

1

a2

，OM2=4a2+

1

4a2

，
易知∠MON≠90°，
∴当∠ONM=90°时，
有4a2+

1

4a2

=a2+

1

a2

+5a2-5+

5

4a2

，
解得a1=

2

，a2=

2

2

（舍去），即点P为(2

2

，

2

)，（2分）
同理当∠OMN=90°时，点P为(

2

2

，

2

4

)．（2分）
综上所述，当点P为(2

2

，

2

)与(

2

2

，

2

4

)时，能使△OMN为直角三角形．