试题

（2010·门头沟区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+1与y=-

3

4

x+3交于点A，分别交x轴于点B和点C，点D是直线AC上的一个动点．
（1）求点A的坐标．
（2）当△CBD为等腰三角形时，求点D的坐标．
（3）在直线AB上是否存在点E，使得以点E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出有几种情况．

解：（1）由题意，得：

y=x+1 y=- 3 4 x+3

，
解得：

x= 8 7 y= 15 7

，
∴点A的坐标为（

8

7

，

15

7

）．

（2）当△CBD为等腰三角形时，有以下三种情况，如图（1）．设动点D的坐标为（x，y）．
在y=x+1中，当y=0时，x+1=0，
∴x=-1，点B的坐标为（-1，0）．
在y=-

3x

4

+3中，当y=0时，-

3

4

x+3=0，
∴x=4，
点C的坐标为（4，0）．
∴BC=5．
①当BD₁=D₁C时，过点D₁作D₁M₁⊥x轴，垂足为点M₁，则BM₁=M₁C=

1

2

BC．
∴BM₁=

5

2

，OM₁=

5

2

-1=

3

2

，x=

3

2

，
∴y=-

3

4

×

3

2

+3=

15

8

，点D₁的坐标为（

3

2

，

15

8

）．
②当BC=BD₂时，过点D₂作D₂M₂⊥x轴，垂足为点M₂，则D₂M₂²+M₂B²=D₂B²．
∵M₂B=-x-1，D₂M₂=-

3

4

x+3，D₂B=5，
∴（-x-1）²+（-

3

4

x+3）²=5²，
解得：x₁=-

12

5

，x₂=4（舍去）．此时，y=-

3

4

×（-

12

5

）+3=

24

5

，
∴D₂的坐标为（-

12

5

，

24

5

），
③当CD₃=BC时，CB=5，CD₃=5，此时D₃坐标为（0，3），
当CD₄=BC时，BC=CD₄，=5，M₄D₄=OD₃=3，CO=CM₄=4，则D点坐标为（8，-3）．（6分）
由此可得点D的坐标分别为D₁（

3

2

，

15

8

），D₂（-

12

5

，

24

5

），D₃（0，3），D₄（8，-3）．

（3）存在．以点E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形有三种情形．（8分）
解：（1）由题意，得：

y=x+1 y=- 3 4 x+3

，
解得：

x= 8 7 y= 15 7

，
∴点A的坐标为（

8

7

，

15

7

）．

（2）当△CBD为等腰三角形时，有以下三种情况，如图（1）．设动点D的坐标为（x，y）．
在y=x+1中，当y=0时，x+1=0，
∴x=-1，点B的坐标为（-1，0）．
在y=-

3x

4

+3中，当y=0时，-

3

4

x+3=0，
∴x=4，
点C的坐标为（4，0）．
∴BC=5．
①当BD₁=D₁C时，过点D₁作D₁M₁⊥x轴，垂足为点M₁，则BM₁=M₁C=

1

2

BC．
∴BM₁=

5

2

，OM₁=

5

2

-1=

3

2

，x=

3

2

，
∴y=-

3

4

×

3

2

+3=

15

8

，点D₁的坐标为（

3

2

，

15

8

）．
②当BC=BD₂时，过点D₂作D₂M₂⊥x轴，垂足为点M₂，则D₂M₂²+M₂B²=D₂B²．
∵M₂B=-x-1，D₂M₂=-

3

4

x+3，D₂B=5，
∴（-x-1）²+（-

3

4

x+3）²=5²，
解得：x₁=-

12

5

，x₂=4（舍去）．此时，y=-

3

4

×（-

12

5

）+3=

24

5

，
∴D₂的坐标为（-

12

5

，

24

5

），
③当CD₃=BC时，CB=5，CD₃=5，此时D₃坐标为（0，3），
当CD₄=BC时，BC=CD₄，=5，M₄D₄=OD₃=3，CO=CM₄=4，则D点坐标为（8，-3）．（6分）
由此可得点D的坐标分别为D₁（

3

2

，

15

8

），D₂（-

12

5

，

24

5

），D₃（0，3），D₄（8，-3）．

（3）存在．以点E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形有三种情形．（8分）