试题

（2011·无锡一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A （-15，0），AB=25，AC=15，点C在第二象限，点P是y轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕着点A逆时钟方向旋转．使边AO与AC重合．得到△ACD．
（1）求直线AC的解析式；
（2）当点P运动到点（0，5）时，求此时点D的坐标及DP的长；
（3）是否存在点P，使△OPD的面积等于5？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）设直线AC的解析式为：y=kx+b，
∵点A （-15，0）且C点在第二象限，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，
∴k＞0，即k=tan∠A=

BC

AC

=

AB2-AC2

AC

=

20

15

=

4

3

，
又∵直线AC过点A-15，0），
即：0=

4

3

×（-15）+b，
∴b=20，
∴直线AC的解析式为：y=

4

3

x+20；

（2）点P运动到点（0，5）时，CD=OP=5，AD=

OA2+OP2

=5

10

，
设D（x，y），
则x=-（OA-cos∠DAB×AD）=-（OA-cos∠D×AD）=-10；
y=sin∠DAB×AD=

AC

AD

×AD=AC=

AD2-DC2

=15；
∴D（-10，15），DP=10

2

；

（3）设P（0，a），则
当a＞0时，

1

2

a(

4

5

a+6)=5
解得：a1=

-15+5 17

4

，a2=

-15-5 17

4

（舍去）
当-

15

2

＜a＜0时，

1

2

(-a)(

4

5

a+6)=5．
解得a1=-

5

2

，a₂=-5
当a＜-

15

2

时，

1

2

(-a)(-

4

5

a-6)=5
解得a1=

-15+5 17

4

（舍去），a2=

-15-5 17

4

∴存在点P，使△OPD的面积等于5，P1(0，

-15+5 17

4

)，P₂（0，-5），P3(0，-

5

2

)，P4(0，

-15-5 17

4

)．
解：（1）设直线AC的解析式为：y=kx+b，
∵点A （-15，0）且C点在第二象限，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，
∴k＞0，即k=tan∠A=

BC

AC

=

AB2-AC2

AC

=

20

15

=

4

3

，
又∵直线AC过点A-15，0），
即：0=

4

3

×（-15）+b，
∴b=20，
∴直线AC的解析式为：y=

4

3

x+20；

（2）点P运动到点（0，5）时，CD=OP=5，AD=

OA2+OP2

=5

10

，
设D（x，y），
则x=-（OA-cos∠DAB×AD）=-（OA-cos∠D×AD）=-10；
y=sin∠DAB×AD=

AC

AD

×AD=AC=

AD2-DC2

=15；
∴D（-10，15），DP=10

2

；

（3）设P（0，a），则
当a＞0时，

1

2

a(

4

5

a+6)=5
解得：a1=

-15+5 17

4

，a2=

-15-5 17

4

（舍去）
当-

15

2

＜a＜0时，

1

2

(-a)(

4

5

a+6)=5．
解得a1=-

5

2

，a₂=-5
当a＜-

15

2

时，

1

2

(-a)(-

4

5

a-6)=5
解得a1=

-15+5 17

4

（舍去），a2=

-15-5 17

4

∴存在点P，使△OPD的面积等于5，P1(0，

-15+5 17

4

)，P₂（0，-5），P3(0，-

5

2

)，P4(0，

-15-5 17

4

)．